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几类非线性发展方程的精确解及守恒律

刘娜  
【摘要】: 本文运用李群方法和改进的CK直接方法,研究了几类非线性发展方程的一般对称群和显式精确解,包括行波解、孤立波解和相似解等,并且讨论了方程的守恒律.在第一章中,主要研究了(2+1)-维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程. 利用直接对称方法,求出了方程的对称,得到了该方程的五种相似约化和许多新的精确解,包括有理函数解,双曲函数解,雅克比椭圆函数解和三角周期解.同时,讨论了BLMP方程的无穷多守恒律,并验证了守恒律和对称的相关性. 在第二章中,利用相容性方法,求出了(3+1)-维Kadomtsev-Petviashvilli (KP)的对称及其对应的向量场,得到了该方程的四种相似约化和许多新的精确解,包括钟型孤波解,三角函数解,有理函数解,Weierstrass椭圆双周期函数解等.同时,利用N. H. Ibragimov提出的方法和求出的向量场得到了方程的守恒律.与非经典李群方法相比较,相容性方法最大的优点是直接简便,省去大量繁杂的计算.应用相容性方法可以求解其它非线性发展方程. 在第三章中,利用改进的CK直接方法,求出了(2+1)-维耗散长水波方程的一般对称群和李对称.用经典的李群方法求出的单参数群只是我们关于对称群结果的特殊情况;这里得到的李对称用经典的李群方法虽然也可以得到,但计算过程却复杂得多.根据我们建立的一般对称群原理,建立了方程的新旧解之间的关系,并由已知的旧解得到了方程的许多新的精确解,并用图像说明了几个特殊解随时间变化的渐进性质;运用求出的李对称研究了方程的守恒律.


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