几类双曲守恒律方程组的黎曼问题及黎曼解的稳定性分析

【摘要】：本文主要考虑几类双曲守恒律方程组的黎曼(Riemann)问题.首先考虑一个非严格双曲守恒律的黎曼问题,当初值满足特定的条件时在其黎曼解的构造过程中出现了狄拉克激波.其次考虑初值为三片常状态的一个严格双曲方程组黎曼解的稳定性,这主要就是考虑基本波的相互作用问题.最后考虑一类非严格双曲方程组黎曼解的极限关系问题,在此我们清晰的看到了黎曼解中狄拉克激波是如何形成的.本文所研究的内容有着较为广泛的物理背景,与气体动力学、水波理论、色谱方程等有着密切的联系,具有重要的理论意义和实际应用价值.本论文主要研究了以下三类问题:第一部分主要研究了一个非严格双曲守恒律方程组的黎曼问题.首先采用相平面分析法构造出此方程组在初值为两片光滑常状态下的整体黎曼解并画出黎曼解的图像,其次考虑了当初值满足特定条件时,黎曼解中含有的一类新的奇异解:狄拉克激波解并计算出了狄拉克激波的强度.第二部分主要研究了初值为三片常状态时的一个严格双曲方程组黎曼解的稳定性.首先通过自相似粘性消失法研究了此方程组的黎曼问题.其次考虑双黎曼问题即方程组的初值改为三片光滑常状态,在此情况下研究了在各种条件下的波的相互作用问题,从而进一步研究了整个方程组黎曼解的稳定性.第三部分主要研究了一类非严格双曲方程组黎曼解的极限关系.首先运用了相平面分析法构造出此类方程组的黎曼解,其次通过取极限的方法研究了狄拉克激波的形成.