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具有非线性阻尼项和力源项的四阶波动方程的初边值问题

张东波  
【摘要】: 本文在梁方程的基础上研究了如下具有非线性阻尼项和力源项的四阶波动方程的初边值问题: 本文分为四章:第一章为引言,将给出本文研究的方程模型的物理意义及研究现状;第二章证明了具有非线性阻尼项和力源项的四阶波动方程在一定条件下mild解的局部存在性;当非线性阻尼项的影响强于力源项时,引进修正的能量函数并结合连续性原理证明了整体解的存在性和唯一性;第三章研究了非线性阻尼项和力源项对解的爆破行为的影响.选择初始能量满足一定的条件,阻尼项的影响弱于力源项时,利用补偿能量的方法证明了解在有限时间发生爆破,并得到爆破时间跨度的上界;第四章依据势井理论,通过构造稳定集和不稳定集,利用能量方法证明了整体解的能量衰减估计,讨论了解在井内爆破以及当初值落在稳定集或不稳定集的边界时,整体解的存在性.具体内容如下:第二章的主要结果是: 定理2.1设1p≤(?):n≥5;1p∞,1≤n≤4.若φ∈H3(Ω),ψ∈L2(Ω),则方程(P)存在惟一的弱解u∈Y,其中T0充分小 定理2.2设1p≤(?),n≥5;1p∞,1≤n≤4.如果p≤m,且φ∈H3(Ω),ψ∈L2(Ω),则方程(P)存在唯一的整体弱解u(x,t),使得对VT0,满足 第三章讨论了整体解的爆破性质,主要结果: 定理3.1设1p≤(?),n≥5;1p∞,1≤n≤4.若1mp,φ∈H3(Ω),ψ∈L2(Ω).如果E(0)0,则方程(P)的解在有限时刻发生爆破.第四章用位势井理论讨论了整体解的衰减估计和爆破,主要结果: 定理4.1设1p≤(?),n≥5;1p∞,1≤n≤4.初始值φ∈H3(Ω),ψ∈L2(Ω),u(x,t)是问题(P)在[0,T)上的局部解,若φ(x)∈W并且E(0)d,那么T=∞,即整体解存在,且u(t)∈W.若1mmin{p,1+(?)},且对任意的t0,E(t)≥0,则问题(P)的整体解的能量衰减估计为 定理4.2设1p≤(?),n≥5;1p∞,1≤n≤4.若φ∈H3(Ω),ψ∈L2(Ω),mp,E(0)≤d,且(?)=(?)2≤R2,则方程(P)存在惟一的整体解u(x,t),且对任意的t∈[0,∞)有u(x,t)∈W∩аW. 定理4.3设1p≤(?):n≥5;1p∞,1≤n≤4.若1mp,φ∈V,ψ∈L2(Ω),E(0)d,则方程(P)的解u(x,t)在有限时刻发生爆破.


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