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微分方程若干问题的研究

程志波  
【摘要】:本篇博士论文研究几类微分方程解的存在性.论文借助Poincare-Birkhoff扭转定理研究两类Duffing方程调和解和次调和解的存在性.应用重合度理论和新的不等式研究几类高阶微分方程周期解的存在性.利用不动点定理研究几类非线性微分方程正解的存在性.全文有如下六部分组成. 第一章绪论,简述问题的产生和研究意义.在这里,我们介绍了与本文相关的非线性微分方程研究现状和背景知识.同时,我们给出了Poincare-Birkhoff扭转定理、重合度理论、不动点定理和常用不等式. 第二章通过一个广义的Poincare-Birkhoff扭转定理,我们得到超线性奇性Duff-ing方程和拟线性Duffing方程有无限多个调和解和次调和解.并改进和扩展了前人的结论. 第三章我们讨论了中立型算子(Ax)(t)=x(t)-cx(t-δ(t))的性质,并且通过重合度理论和不动点定理,我们得到了二阶中立型微分方程存在周期解,多个周期(正)解和不存在周期解的结论. 第四章通过用三阶微分方程的Green函数和不动点定理,即,Leray-Schauder选择原理和Schauder不动点定理,我们得到了非线性三阶奇性方程正周期解的三个存在结论. 第五章通过用重合度理论和一些新的不等式,在c=1的临界条件和c≠1的条件下,我们分别得到了高阶中立型微分方程周期解的存在性. 第六章是微分方程的应用,在6.1节通过用重合度理论,我们得到了Brillouin电子束聚焦系统x"+a(1+cos2t)x=1/x在0a1情况下存在正解.并解决了a1的实验猜想.在6.2节,基于非晶合金在加载压缩时塑性变形动态分析的实验结论,提出了一个动力学模型.通过模型分析,我们得到非晶合金在塑性变形时,加载速率影响着从不稳定(较低的加载速率)到稳定(较高的加载速率)的过程,这一结论与CU50Zr45Ti5非晶合金的压缩实验结论相一致.


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