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高精度混合有限元方法研究

唐启立  
【摘要】:1本论文主要针对伪双曲方程、强阻尼波动方程、四阶抛物型方程、对流占优扩散方程和Stokes方程,分别从非协调分裂正定混合有限元法、H1-Galerkin混合有限元法、特征混合有限元新格式、稳定化混合有限元法和加罚组合算法的角度出发,对以往文献中很少涉及关于这些算法的超逼近、整体超收敛及外推等方面进行深入系统的研究. 首先,我们选用非协调矩形类-Wilson元,研究了伪双曲方程分裂正定半离散和全离散混合有限元格式,根据该单元相容误差比插值误差高二阶的特殊性质,借助于插值取代投影的技巧,在几乎均匀网格下,得到了通量‖·‖div,h模的整体超收敛估计和原始变量L2模的最优误差估计. 其次,我们主要考虑H1-Galerkin混合元方法的高精度分析.一方面,研究了强阻尼波动方程的H1-Galerkin混合元方法的渐近展开与外推.利用两个线性三角形单元特殊的组合方式及Bramble-Hilbert引理,确定了精确解及其有限元插值之间积分式的主项.在这一过程中,去掉了对实际应力变量有限元逼近空间零边界条件的限制,而这一条件又是文[90]中得出精确解和有限元插值之间积分式主项的充分条件.借助于插值后处理和Richardson外推技术,得到了原始变量H1模和实际应力变量H(div;Ω)模的O(h3)阶收敛速度,比[96,97]等文献的误差估计高两阶.数值试验显示了该算法的有效性.另一方面,利用拓广的非协调旋转Q1(EQ1rot)元和类-Wilson元分别逼近原始变量和实际应力变量,对强阻尼波动方程的H1-Galerkin非协调混合元格式进行了探讨,借助于插值算子取代投影的技巧,在几乎均匀网格下得到了比以往文献[96,97]等的误差估计高一阶的超逼近和超收敛结果.同时,数值算例也证实了理论分析的正确性.随后,通过引入三个辅助变量将四阶抛物型方程拆分成四个一阶方程组,构造了基于线性三角形元的H1-Galerkin混合元格式,分别得到了四个变量的超逼近和超收敛结果,在同样的解的正则性条件下比[100]等文献的结论整整高一阶. 再次,构造了对流占优扩散问题的特征混合元新格式,分别选用非协调EQ1rot元和零次Raviart-Thomas元逼近原始变量和辅助变量,利用单元的高精度性质,得到了两个变量的最优误差估计.而先前传统的混合变分形式的误差估计却是次优的[4,30,32,164].数值模拟结果也进一步说明了选取该格式的有效性. 而后,利用带约束的非协调旋转Q1元(CNQ1rot)和分片常数元来逼近速度和压力,借助于Clement插值算子来构造稳定化项,我们构造了Stokes问题的一个新的非协调稳定化混合元格式,该格式不仅保留了文[7,57]中的基于局部多项式压力投影的稳定化方法的优势,而且Clement插值高一阶的逼近性质也保证了超收敛分析所需要的阶.随后,证明了逼近问题解的存在惟一性,结合单元的特殊性质和插值后处理技巧,得到了速度在离散的(H1)2模和压力在L2模下的D(h2)阶的超收敛结果. 最后,通过对加罚算法得到的两个解加以线性组合,给出了Stokes问题的低阶非协调元改进加罚组合算法,得到了速度在离散的(H1)2模和压力在L2模下O(h2+λmλn)的收敛阶.与传统的加罚算法相比,该算法选取较大的罚参数就能得到较高的收敛阶,从而能有效地避免因使用小参数而导致的加罚算法的不稳定问题.


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