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两类非线性数学物理模型方程的初边值问题

杨志坚  
【摘要】: 本文致力于研究两类非线性数学物理模型方程初边值问题的适定性与解的Blowup 问题。 在本文的第一部分,我们讨论出自粘弹性力学的具强阻尼、非线性应变、非线性阻 尼和非线性力源项的多维拟线性发展方程初边值问题的整体解的存在性、解的渐近性、 稳定性及解的Blowup问题。 我们利用位势井方法,单调性方法研究了在小初始能量情况下,上述初边值问题的 整体弱解的存在性和衰减性,用Galerkin方法和紧致性方法研究了在大初值情况下上述 初这值问题的整体弱解的存在性,分别利用补偿能量方法和能量方法研究了上述初边值 问题的整体解的不存在性问题。我们证明,上述方程中诸非线性项的增长阶(假定它们 均具有不超过多项式的增长阶)指数、初始能量的状态和相应的定解问题的整体解存在 与解在有限时刻发生Blowup现象之间存在着密切的联系,得到了增长指数、初始能量 的状态与整体解的存在与不存在之间的类似于门槛的结果。 我们利用H_o~k-Galerkin方法,进一步研究了具强阻尼、非线性应变和非线性外力项 的多维非线性发展方程的初边值问题。证明了在小初始能量情况下,上述初边值问题的 整体古典解的存在性、稳定性和衰减性,得到了一系列新的结果。 在本文的第二部分,我们讨论出自浅水波理论及等离子物理的“坏的”Boussinesq型 方程初边值问题的局部解的存在性及解的Blowup问题,利用一种新的数学思想、即将 抽象初值问题的解视为抽象空间中由初始点出发的“流”。通过建立一系列等距同构的 Hilbert空间,利用这些空间的拓扑不变性、利用Galenkin逼近和解的逐次延拓,证明 了在相当宽松的条件下,上述问题存在局部广义解。 我们分别利用Jensen不等式、常微分方程的比较原理、能量方法和Fourier变换方 法,证明了在一定条件下,“坏的”Boussinesq型方程的上述初边值问题的局部解必在 有限时刻发生Blowup现象。


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