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Lax矩阵及其应用

李雪梅  
【摘要】: 本文的主要目标是构造新的Lax矩阵并给出其应用。文中讨 论了两种类型的共焦Lax矩阵,对各种不同的情况做了详细的研 究。由此得到了一批新的Lax矩阵,此外著名的AKNS、KdV、c-KdV, Kaup-Newell,TD,Jaulent-Miodek,Lcvi和mKdV等的Bargmann系统或 Neumann系统所对应的Lax矩阵是我们所获得某些结果的特殊情 况。对Lax矩阵的讨论十分复杂而且困难,因为要求解8个(或 9个)常微分方程或偏微分方程。 从Lax矩阵出发,获得一族新的有限维可积系统,借助于有 限维可积系统的正则方程,可得到新的特征值问题。我们着重对 两个新的保谱问题导出与之相联系的两族新的孤子方程,其中典 型的是新的广义耦合KdV(c-KdV)方程和新的广义TD方程。作 为Riemann面和代数曲线理论在可积系统中的应用,利用Lax矩 阵合适地引入Abel-Jacobi坐标,使得对应的流拉直。再经过Jacobi 反演,获得孤子方程的代数几何解。作为Lax矩阵另一应用,我 们提出一个新的(2+1)维可积模型 基于Lax矩阵及非线性化方法,这个(2+1)维可积模型被依次分 解为新的(1+1)维孤子方程、新的有限维完全可积的Hamilton系 统。借助Abel-Jacobi坐标,得到这些(1+1)维和(2+1)维可积模 型的有限带解。


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