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一类非线性高阶波动方程的初边值问题和Cauchy问题

韩献军  
【摘要】: 本文分三章,第一章为引言;第二章研究一类非线性高阶波动方程的初边值问题的整体古典解的存在性和唯一性,以及古典解的爆破;第三章研究此方程的周期边界问题和Cauchy问题的整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性,具体情况如下: 在第二章中,我们研究一类非线性高阶波动方程的如下初边值问题:或或其中a_1,a_2,a_3 >0为常数,φ(s),∫(s_0,s_1,s_2,s_3,s_4,)为已知的非线性函数,u_0(x),U_1,(x)为已知的初始函数,为此,我们先用四阶常微分方程边值问题的Green函数把上述问题转化为等价的积分方程,然后利用压缩映射原理证明此积分方程局部古典解的存在性和唯一性,又用解的延拓法证明上述问题整体古典解的存在性和唯一性,主要结果有: 定理1 设u_0(x),u_1(x)∈C~4[0,1]且满足边界条件(2),若以下条件满足:其中A,B月>0为常数, W.、。。;IDF(u.u-.u、)\ (b)八u.N、.n_、.厂,_、,u-4)=>:(一1)”‘D——I 、yi J\。、,。、。,·、。,。、。。,。、\,tf”“”t 彻,J。’ 其中厂(S。,。I,SJ>0,且厂(S。,S;,S)E d(R’), 【口厂人SO.81.S7 多D_r、、了。h (广)【————【S二AD D JI]“门 十IJ.D“。’十15。卜 十D S。]“门]JI 厂N -ID SO rts D SZ广十 2.卜6【S。1‘-H SO卜,0 rtsl SZll 其中*UP3,i一0,l,2,j一l,2,…,8, 则问题(1)一(3)有唯一整体古典解. 定理2 假设以下条件成立: (O)(l。It+O。11。-.!II、、)d.1:>0. (0)EN)。Ig;;l卜I;。Ill;。0。卜-I;02卜。。卜I-。;。It;;;_11’ +Zll p(S)d对 十ZIF(。。。,l。0。,。。0。)<<0, 其中DI一1-DD一【LZt。,fi为广…),IJ的范数, (c)9 E C’(11),且 sT(s)<2(26-。1)D 9(s)。ly-。a;8。。‘,其中 3>0, 禹=Za或孔一S, (d)F(S。,S;,S。)EC’(R’)且 +SF(Sn.S:.S、)。、。 >IS;lfuHIK171----------<2(23+l)厂(Sn.S;.S,) 叫’a。、—一、一 十2S(占.atst十a。s;十(会一广.)a.们(侧寸兄。0) —“””-’一‘”’一“”’‘’2”””“”’””’”””-“-’ 。,a FF(sn.S1.3,)-..、. 或>IS..——宅2门8+])刊S。S,S,) ”LM“’&”“’”” _。,且 -卜*占(二子a:ss-卜S,a。sZ-卜(1一S,)a,sZ)(止L日寸sn=8) 一”二一‘”‘“‘“”‘“‘”““‘”一‘””’“”“”‘”””’ Al8F(。SI.S、)__._、. 或>Is;————<2(26十门F(sn.st.s,〕 ”LM“’os”一’一 +2S(久a。ss+山a。sz。-久a。s引(此时禹-2S) 其中0<允<去,0<丑<1.0乏允.允.人<1,凡干人+久=且. ””’—”一’”2’—”一‘”“’一””‘’一“’-’”“’-‘””一’ 则问题门)一(3)的古典解在有限时刻爆破 对于问题门),(4),(5)和(l),(6),(),也有类似定理1,2的结论。 一2 一 在第三章中,找们研究hU巾y问题 u;;-u;入一+工。。。r4 卜4。。。x。;;-甲(。。。)。’八u,。I,,。。_,。I_,工。4), .co<。<F。,t>0,(8 u(x,0)=l。。(x),u;(x,0)=。。;(x),co<x<+o,(9) 其中a;,a。,a。>0为常数,甲(s),j”(s。,s;,s。,s。,s。)为已知的非线性函数,u(x), u;(x)为已知的初始函数.为此我们用hle,大i,;方法证明下面周期边界问题 u;;-a;。。。。+ a。。。、。-4。l。。。。。;;=甲(。。r)。+f。。,。。、,。。_,。。_,It。。), l<、。<l,t>0,(10) t(t,Z)=l小+ZJ,1),t b 0,门1) ;八l,则=l。。(x),;;;(l,0)=l。;(。),、。,E卜/,门,(12) 的整体广义解和古典解的存在性和唯一性 然后通过构造周期边界问题序列并取极限的 方法证明问题(8),(9)的整体古典解的存在性和唯一性.主要结果是: 定理3 假设以下条件满足: (a)u小),。。;(x)EH’卜l,j),少(s)EC’(]{),p(0)=0,9’(s)>0, 一、..rs厂(工上.11.11.)1 (b)八u.l,;;、.l。;。。


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