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若干非线性算子与非线性方程的讨论

王文霞  
【摘要】: 在本文中,我们主要讨论了Banach空间中两类非线性方程,其一为具有凹凸性的非线性算子方程,其二为非线性积分-微分方程.所使用的主要方法为半序方法。 全文共分为三章,在第一章(引言)中,我们对具有凹凸性的非线性算子的研究现状及我们在本文中将要做的工作进行了阐述;同时给出了我们处理本文所讨论的非线性积分-微分方程的总体思路。 在第二章(凹凸算子的不动点及应用)中,我们主要讨论具有凹凸性的非线性单调算子存在唯一正不动点的条件。在§2.1中,我们给出了诸凹算子的关系,诸-凸算子(-u_o凸,-φ凸,-α凸及序凸算子等)的关系。在此基础上,我们证明了u_o-凹增算子存在唯一正不动点的充分必要条件;-u_o凸减算子存在唯一正不动点的充分条件。在本节中,我们也讨论了具有序凹(凸)性的单调算子及具有u_o凹凸性的混合单调算子唯一正不动点的存在性问题。 在§2.2中,我们给出了增的u_o凸算子,增的α(>1)齐次算子算于存在唯一正不动点的充分条件。 在§2.3中,作为前两节抽象结果的应用,我们讨论了具有凹凸性的Hammerstein积分方程正解的存在唯一性问题。 所得结论推广并改善了现有相关结果。 在第三章(Banach空间中非线性积分-微分方程)中,我们主要研究了Banach空间中带有一阶微分项的二阶非线性积分-微分方程(脉冲积分-微分方程)。在§3.1中,通过建立比较定理,我们讨论了如下带有非线性算子的一阶非线性积分-微分方程的最小最大解的存在性问题,其中,B=h+∫_0~tx(s)ds,h∈E. 在§3.2,利用§3.1的结果。我们讨论了如下带有一阶微分项的的二阶非线性积分-微分方程的最小最大解的存在性问题: {·犷“‘,一刃,,,,T\x,“双,,、 L工LU)=工0,x LU)=工L上) t〔J 在够.3及笋.4中,’我们利用笋.1及笋.2的思路,讨论了相应的一阶、二阶脉 冲积分一微分方程. 所得结果发展并推广了相关的结论.


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