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具结构阻尼的非线性梁方程的初边值问题

呼青英  
【摘要】: 本文研究非线性梁方程 u_(tt)+u_(xxxx)+ku_(xxxxt)-{α+β(∫_0~1u_x~2dx)~(m_1)+δ(∫_0~1u_xu_(xt)dx)~(2m_2+1)}u_(xx)+η|u_t|~(p_1)u_t=r|u|~(p_2)u, 0<x<1,t>0 (1)的如下初边值问题 u(0,t)=u(1,t)=u_(xx)(0,t)=u_(xx)(1,t)=0,t≥0, (2) u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0≤x≤1, (3)的整体弱解的存在性和渐近性,其中r∈R,k,α,β,δ,η,p_1,P_2>0为常数,m_1≥1,m_2≥0为整数。 在第二章中,当r>0时,通过构造问题(1)—(3)的修正位势井W并借助于一个新的Gronwall型积分不等式,应用Galerkin方法和紧致性定理证明了问题(1)—(3)存在整体弱解,主要结论为: 定理1.设r>0,若u_0∈W,u_1∈H_0~1且,则问题(1)—(3)存在整体弱解。 在第三章中,利用Nakao差分不等式,得到当r>0时问题(1)—(3)解的渐近性,主要结果为: 定理2.若问题(1)—(3)的整体弱解存在,u_0∈W,u_1∈H_0~1,r>0且,则问题(1)—(3)的解有如下能量估计: (1)如果p:=0,且ml=2m2+1,则 E(t)(£(o)。一‘〔‘一‘〕+,t)0. 其中〔t一1〕+一max{t一1,0}; (2)女。果,1。彭鱼土多黑些续奥之卿止卫):,则 乙、11‘2一下~1/了I‘1 二(,)毛(:(O)一鲁+些琴二里〔‘一:〕+)一六,,)。, 乙 其中,k,中(E(0))是依赖}}uo二}I和}}u,}}的正常数. 在第四章中,我们对rO的情况,利用Galerkin方法和紧致性原理证明问题(1)一(3) 整体弱解的存在唯一性.结果为: 定理3.设rO,u。任H吞门H4,ul任H弓,则问题(1)一(3)存在唯一整体弱解.


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