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求非线性数学物理方程精确解的F展开法研究

李向正  
【摘要】:非线性数学物理方程在现代科学研究中具有重要的理论和实践价值,其精确解的求出已经成为数学物理工作者极为关注的对象之一。在过去的大约40年中,非线性数学物理研究领域颇具特色的新成就之一就是创造了求非线性数学物理方程的解特别是孤波解的各种精巧方法。如早已闻名的反散射方法(IST),B(?)cklund变换法等。最近王明亮教授提出的F展开法也是十分有效的方法。F展开法可用于求解多种类型的非线性数学物理方程(组),从解常系数非线性发展方程发展到解变系数非线性发展方程;从解单个儿的非线性方程发展到解非线性方程组;从解(1+1)维的问题发展到解(n+1)(n1)维的问题。本文主要研究源于现代科学技术的非线性数学物理方程(组),如KdV方程、非线性Schr(?)dinger方程(薛定谔方程)、变形Boussinesq方程组(波斯内斯克方程组)、变系数KdV方程、无阻尼单摆的运动方程、Ginzburg-Landau方程(金斯堡-朗道方程)、n维Klein-Gordon方程(克莱因-高登方程)、Liouville方程(刘维尔方程)、Sinh-Gordon方程(双曲正弦-高登方程)和组合KdV-Burgers方程等十个方程(组),得到了上述方程(组)丰富的周期波解。用F展开法,不需计算Jacobi椭圆函数,就可得到非线性数学物理方程的一些以Jacobi椭圆函数表示的精确解。在极限情形,我们也得到所考虑方程的孤立波解和三角函数解。


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