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两个非线性方程的达布变换和孤子解

陈爱华  
【摘要】:孤子方程是非线性科学领域中极具潜力的课题。本文考虑两个重要的非线性方程。现在已有许多方法得到非线性方程的解,其中达布变换是一种自然而美妙的方法。它从方程的一个平凡解出发求得精确解。 本文第一部分介绍了最原始的达布变换和达布阵方法,以此为基础在下文中构造两个非线性方程的达布变换。 第二部分考虑Boussinesq-Burgers孤子方程的达布变换。在已知条件B_(N-1)=1/2 (u_x+v),C_(N-1)=1/2下,对达布阵(α,A_k,B_k,C_k和D_k(0≤k≤N-1)是x与t的函数)进行了严格证明。 以平凡解u=0,v=-1作为种子解,利用此达布变换生成了Boussinesq-Burgers方程的孤子解,并且讨论了N=1和N=2前两种情形。当N=2时,适当选择参数,作出了优美的三孤子碰撞图像,并且孤子解(?)[2]的三个孤子均有两个峰,这是一种与2×2谱问题有关的孤子图像的不常见类型。 第三部分,考虑耦合的非色散方程关于λ负幂的达布变换,在构造和证明此达布变换时有很大的技巧性。最后以平凡解q=1,γ=0作为种子解,一次应用达布变换得到单孤子解,根据达布阵理论通过两次应用构造的达布变换得到了耦合的非色散方程的双孤子解。


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