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工件可选择的平行机在线排序

郭首玮  
【摘要】: 平行机排序是应用非常广泛的一类排序模型。本文主要研究的是一类平行机在线排序问题,并且工件是可以选择的。用三参数法表示我们的模型即是: Pm|on-line,r_j,D|∑f_j.其中D指机器的使用期限,f_j为工件J_j的加工利润,目标函数是使得在机器的使用期限内所获得的总利润最大。 我们在本文所讨论的模型是一种新模型:一种背包问题(knapsack problem)的在线排序形式。在现有文献中还未见有此类模型的研究工作。在本文中所谓的在线,是指工件集是按时(over-time)到达的,工件的所有性质(包括到达时间)在它到来之前都是未知的,工件在到来之前不能被安排加工。平行机是指模型中的机器环境,指m台类型相同、速度相同的机器同时投入作业。由于我们所讨论的模型目标函数值为求最大,故我们所用的竞争比ρ定义为,其中对任意一个实例A,σ为算法得到的排序,π为离线最优序。显然这里的ρ满足0≤ρ≤1。本文模型的最显著特点是:工件具有可选择性并且必须即时加工。所谓可选择性,是指在工件到达之时,决策者可以接受加工而获得利润,也可以拒绝加工而失掉利润,即到来的工件并非都要安排加工,可以选择抛弃其中的某些工件。所谓即时加工,是指工件不允许等待加工,每一个到达的工件或者被选择在它的到达时刻开始加工,或者被抛弃掉,不存在某一个被选择的工件的开工时间大于它的到达时间。这种模型在现实生活中有着很广泛的应用,例如公司或企业投资一批相同类型的机器进行生产活动,定单的到来时间及内容事先是不知道的,且决策者可以接受定单也可以拒绝定单。由于市场竞争激烈,接受的定单必须立刻开工,而拒绝的定单很可能立刻被别的企业接手,故被拒绝的定单以后也不可再接手加工。 此模型的离线情形中当取r_j=0(j=1,…,n)且允许工件在到达时间之后加工时,它即是一个背包问题。因而可以证明该模型的离线情形(工件在到达时刻立即加工或抛弃)是NP-困难问题。而对于本模型中工件的利润f_j与加工时间p_j不相关的情形,问题会比较困难。故在本论文中我们主要讨论该模型中一些较为特殊的情形:工件的利润f_j与加工时间p_j呈线性关系。本文的内容主要分两大部分:第一章,我们主要给出了排序论的介绍、一些用到的基本概念、排序的记号以及模型的介绍等。第二章中,我们首先在第一节中给出了该模型中f_j=1情形的所有在线算法竞争比的上界1/2,f_j=p_j的一般情形(工件加工时间任意)不具有竞争比为常数阶的在线算法,进而可知模型中f_j与p_j呈线性关系f_j=μ_j+λ_jp_j(μ_j,λ_j>0)的一般情形也不具有竞争比为常数阶的在线算法。然后在第二节里,给出了f_j=1且工件序列只包含两类工件情形(小工件加工时间为1,大工件加工时间为d)的在线算法。包括:只有两台机器,大工件加工时间d≥2时,找到了一个竞争比为1/2的在线算法A~1,且此算法为最具竞争性的;当有任意m台平行机时,找到了一个在线算法A~2,证明了对于m=2k(m为偶数),d≥k+1的模型此算法的竞争比为1/2,且为最有竞争性的;对于m=2k+1(m为奇数),d≥2k+2的模型,此算法的竞争比为k/(2k+1),为渐近意义下最优的。最后在第三节中,对于f_j=p_j,工件的加工时间只有两种(小工件加工时间为1,大工件加工时间为d),有任意m台平行机的情形,找到了一个在线算法A~3同样证明了对于m=2k(m为偶数),d≥k+1的模型此算法的竞争比为1/2,且为最有竞争性的;对于m=2k+1(m为奇数),d≥2k+2的模型,此算法的竞争比为k/(2k+1),为渐近意义下最优的。


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