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一类具有阻尼项的非线性波动方程的初边值问题

陆博  
【摘要】:本文研究如下的初边值问题: 和方程(1)的初边值问题 其中α>0,b>0为常数,φ(x)和ψ(x)为给定的初值函数,f(s)表示给定的非线性函数,下标x和t分别表示对x和t求偏导数.方程(1)是一类非线性波动方程,它主要描述在具有色散效应的介质中带有粘性耗散的波的传播,也可以描述一维弹性杆的纵振动问题. 本文分三章:第一章为引言;第二章研究初边值问题(1)-(3)和初边值问题(1),(4),(5)的整体广义解和整体古典解的存在性和惟一性;第三章给出问题(1)-(3)和问题(1),(4),(5)的解爆破的充分条件.主要结果如下: 定理1设f∈C~2(R)且存在常数C_0使得对任意的s∈R,成立f′(s)≥C_0,φ∈H~4[0,1],ψ∈H~2[0,1],且φ(x),ψ(x)满足边值条件(2),则初边值问题(1)-(3)存在惟一的整体广义解 u∈C([0,T];H~4[0,1])∩C~1([0,T];H~2[0,1])∩C~2([0,T];L~2[0,1]),(6) 其中u(x,t)在广义意义下满足边值条件(2),在古典意义下满足初始条件(3). 定理2若f∈C~4(R),f″(0)=0,且存在常数C_0使得对任意的s∈R,成立f′(s)≥C_0,φ∈H~4[0,1】,ψ∈H~2[0,1],且φ(x),ψ(x)满足边值条件(2),则初边值问题(1)-(3)存在惟一的整体古典解 u∈C([0,T];C~4[0,1])∩C~1([0,T];C~2[0,1])∩C~2([0,T];C[0,1]),(7) 其中u(x,t)在古典意义下满足边值条件(2)和初始条件(3). 定理3设f∈C~2(R)且存在常数C_0使得对任意的s∈R,成立f′(s)≥C_0,φ∈H~4[0,1],ψ∈H~2[0,1],且φ(x),ψ(x)满足边值条件(4),则初边值问题(1),(4),(5)存在惟一的整体广义解 u∈C([0,T];H~4[0,1])∩C~1([0,T];H~2[0,1])∩C~2([0,T];L~2[0,1]),(8) 其中u(x,t)在广义意义下满足边值条件(4),在古典意义下满足初始条件(5). 定理4若f∈C~4(R)且存在常数C_0使得对任意的s∈R,成立f′(s)≥C_0,f~i(0)=0,(i=2,4),φ∈H~7[0,1],ψ∈H~5[0,1],满足边值条件(4),则初边值问题(1),(4),(5)存在惟一的整体古典解 u∈C([0,T];C~4[0,1])∩C~1([0,T];C~2[0,1])∩C~2([0,T];C[0,1]),(9) 其中u(x,t)在古典意义下满足边值条件(4)和初始条件(5). 定理5 (1)设b=1/2,f(s)s≤KF(s),F(s)≤-β|s|~(n+1),其中F(s)=integral from n=0 to s f(Υ)dΥ,K>2,β>0,n>1是常数. (2)φ∈H~4[0,1],ψ∈H~2[0,1],且 则问题(1)-(3)的广义解或古典解u(x,t)在有限时刻(?)爆破,即t→(?)~-, 其中‖·‖表示L~2[0,1]的范数. 定理6设u(x,t)是初边值问题(1),(4),(5)的广义解或古典解,且下列条件成立: (1) (2)f(s)∈C~2(R)是一个凸的偶函数,且满足 f(0)=0,f(A_1)-απ~2A_1≥0, (3)积分 收敛,且β<1, 则 其中


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