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有限元方法若干问题研究

彭玉成  
【摘要】: 众所周知,要求区域Ω的剖分满足正则性条件或拟一致假设是传统有限元分析的基础性条件[1],即hk/ρk≤c或(?)≤c,这里K∈T_h是一个单元,而T_h是Ω的一个凸剖分簇,满足(?) K=Ω,h_K是单元K的直径,ρk是包含在单元K内最大圆的直径;h=(?),(?).然而,一方面,有些问题定义在窄边区域,如电机中转子与定子之间的间隙模型、关节处的软骨组织模型、由复合材料做成的薄板等模型,在对此类问题使用数值方法去计算它们的近似解时,如果采用正则性剖分,剖分将非常密,由此产生的计算量非常大,甚至数值处理无法实现.因此实际处理此类问题时,通常的技巧是采用各向异性单元剖分.另一方面,有些椭圆边值问题(例如:奇异摄动问题、对流扩散问题等)的解具有各向异性特征,即沿某个方向解变化非常剧烈,而沿另外方向解变化平缓.在这种情况下,一个明显能够反映这种解的各向异性特征的处理技巧就是突破上述限制,在解变化剧烈的方向采用细网格,在解变化平缓的方向使用粗网格来反映解真实变化的状态.当处理上述两类问题时,如果对区域剖分采用各项异性网格这一处理方式,比值hk/ρk或(?)可以非常大甚至趋于无穷,传统有限元分析方法中的若干性质和处理技巧就不能使用.如对于非协调有限元进行相容性误差的估计时,若使用传统的边界估计技巧,将会出现因子mras(F)/measK,当F为单元K的长边时,这个因子将趋于无穷大,无法保证收敛性,需要探索新的途径和边界估计技巧.又如,Sobolev插值理论,在各向异性网格情况下不能直接使用,因而插值算子在各项异性网格下的适定性、稳定性、以及LBB条件(混合有限元方法的关键点之一)等方面的研究是十分艰巨的工作.T.Apel等于[2,3]中提出一个各向异性判别定理,但是它用起来不方便.陈绍春教授等在文[4]中概括了[2,3]的结果并提出了一个使用更方便的各向异性判别定理,并把它应用于若干问题的Lagrange型和Hermite型协调元、Crouzeix-Raviart型矩形元、类Wilson元、ACM元、Carey元等非协调元的收敛性研究(见[4~,11,39,41]).上述的模型问题和这些成果都表明,传统有限元方法中对网格剖分的正则性假设是不必要的,有时甚至是不合适的.所以近年来,各向异性有限元的研究成了一个热点,并出现了一系列有影响的文章(参见[2,~,11,39,40,41,65,~,70]). 有限元方法研究特征值问题是另一个倍受关注的课题.T.J.Fix[12]、K.Ishihara[13]、I.Babuska and J.Osborn[14]、B.Mercier[15]、杨一都[16]、吴冬生[17]和刘会坡[18]等专家学者都对此问题进行过研究,在他们的文献里要么得到了最优误差估计[12,~,15,18],要么得到了超收敛结果[16,17].但是就我们所知,这些学者的成果仍然是在对网格的正则性条件或拟一致假设下得到的,很少涉及各向异性网格.用非协调元格式求解特征值问题的关键点之一在于求精确解与有限元近似解的L~2模的误差估计.这对某些各向异性有限元,如Crouzeix-Raviart型等非协调有限元来说,不是一件容易的工作.就我们所知,此前没有见到相关的报道,而本文解决了这一问题.本文的第二章到第六章,主要研究了若干类具有各项异性特征的有限元对平面上二阶椭圆问题、四阶椭圆问题及Stokes特征值问题的逼近.通过运用一系列新颖的技巧,对特征值问题的Lagrange型、Hermite型协调有限元或Crouzeix-Raviart型、Wilson元或类wilson元、Carey元等非协调元逼近得到了与传统有限元网格剖分下相同的最优误差估计,从而拓宽了有限元的应用范围.特别要指明的是,林群院士等在文献[71]中利用流函数方法将求解Stokes特征值问题转化为四阶椭圆特征值问题,给出了相应的混合方法的超收敛性研究,而把从原始变量出发的有限元方法作为一个悬而未决的问题(见文献[71])留给了读者,而本文的第六章重点之一就是给出了这一问题的非协调各向异性有限元方法的理论分析. 有限元的超逼近和超收敛性分析在实际工程计算中占有十分重要的地位,一直是数值分析家们研究的重要内容之一.不仅一般椭圆方程、Stokes方程、抛物方程、扩散对流反应方程等的精确解与有限元解之间误差的超逼近和超收敛(包括整体超收敛与点态超收敛)的成果很丰富[5,7,9,19,20,42,49,50,51,58,63,64],而且对特征值超收敛性的研究也多见报道[16,17].我国的林群院士、陈传淼、朱起定、严宁宁、张书华等教授在此方面取得了具有国际领先水平的结果.但如前所述,这些结果都是在对网格的正则性条件或拟一致假设下得到的,有关各向异性网格下的研究则较少涉及(尤其是非协调元的超逼进性质和整体超收敛性分析等).其中本文在2.2.3节,利用Bramble-Hilbert引理和.Taloy展开等技巧,对一类Crouzeix-Raviart型有限元在各向异性网格条件下关于特征值的超收敛性进行了分析,得到了特征值的超收敛结果;在2.3.3节、6.4节,得到了特征值问题相对应的源问题的超逼近与超收敛性结果;特别是,我们分别在第七章对一类粘弹性方程在各向异性网格条件下、第八章对一类扩散对流反应方程在正则网格下等这些目前尚未涉及的问题的超收敛性进行了系统地分析.由于后验插值算子(尤其是适用于各向异性网格)的构造及其验证十分复杂和困难,且这些成果在以往文献中大多未曾见到,故本文的成果是相关领域前沿性的结论. 作为本文的最后一节,我们给出Carey有限元对一个椭圆边值问题逼近的一个数值算例,这个方程的真解具有备向异性特征的,即在边界方向变化迅速.数值实验的结果表明我们理论分析与实际计算结果吻合,Carey元的确可以用于具有各向异性特征问题的数值算法. 综上所述,传统的要求有限元满足正则性条件或拟一致假设是不必要的,各项异性有限元在实际问题中更具有重要理论意义和应用价值,该文成果正好丰富和发展了这方面有限元研究的理论与内容.


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