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几类非线性发展方程的定解问题

薛红霞  
【摘要】: 本文讨论几类非线性发展方程(组)的初边值问题和Cauchy问题,在一定条件下证明这些问题局部解和整体解的存在唯一性、整体解的渐近性,并给出解发生爆破的充分条件,主要结果包括以下五部分内容。 在第二章中,利用Galerkin方法证明广义立方双耗散方程 u_(tt)-u_(xx)-au_(xxtt)+bu_(x~4)-du_(xxt)=f(u)_(xx),x∈R,t>0,(1)的周期边界问题和Cauchy问题整体广义解和整体古典解的存在性,唯一性和正则性,并给出Cauchy问题的解在有限时刻爆破的充分条件。假设方程(1)具有初值 u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),x∈R。(2)得到的主要结果如下: 定理1设f∈C~(κ+1)(R),f′(s)下有界,u_0∈H~(κ+1)(R)和u_1∈H~κ(R)。如果κ-1≥2(κ=1+p_1=2+p_2,p_1,p_2≥0),则Cauchy问题(1),(2)有唯一整体广义解u(x,t)∈V([0,T]×R,κ-1≥2)={κ-1≥2时,u(x,t)有连续导数u_(x~st~r)(x,t),0≤s+r≤κ-1,r=0,1,2和广义导数v_(x~st~r)(x,t),0≤s+r≤κ+1,r=0,1,2,3,(x,t)∈[0,T]×R}。 定理2设f∈C~(κ+1)(R),f′(s)下有界,u_0∈H~(κ+1)(R)和u_1∈H~κ(R)。如果κ-1≥4(κ=1+p_1=2+p_2,p_1,p_2≥0),则Cauchy问题(1),(2)有唯一古典解u(x,t)∈V([0,T]×R,κ-1≥4)。 定理3假定d≥0,f∈C(R),u_0∈H~2(R),u_1∈H~1(R),G(s)=∫_0~s f(Τ)dΤ和G(u_0)∈L~1(R),且存在常数β>0和ε>0使得 若下面的条件之一成立,则Cauchy问题(1),(2)的广义解u(x,t)∈V([0,T]×R,κ-1≥3)或古典解u(x,t)∈V([0,T]×R,κ-1≥4)在有限时刻爆破: 其中 定理4设d<0,f∈C(R),G(s)=integral from n=0 to s f(Υ)d_Υ,u_0∈H~2(R),u_1∈H~1(R)和G(φ)∈L~1(R),且存在常数β>0和ε>0使得sf(s)≤(2+4β+a~(-1)ε~(-1)d~2)G(s),(?)s∈R。若下面的条件之一成立,则问题(1),(2)的解u(x,t)(参看定理3)在有限时刻爆破: (1) E_1(0)≤0; (2) 在第三章中,研究源于DNA的一广义IMBq方程组 周期边界问题局部古典解的存在性和唯一性。其次利用周期边界问题序列证明Cauchy问题局部古典解的存在性和唯一性。设方程组的初始数据为 u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),x∈R,(5) v(x,0)=v_0(x),v_t(x,0)=v_1(x),x∈R。(6) 主要结果有: 定理5如果u_0,u_1,v_0,v_1∈H~5(R),则Cauchy问题(3)-(6)在[0,t_2]×R上有唯一古典解u(x,t),v(x,t);其中0<t_2<t_(?),t_(?)=2/(K(?)~(1/2)),‖·‖=‖·‖_(L_2(R)), 在第四章中,利用压缩映射原理和解的延拓法证明非线性拟抛物型方程的Cauchy问题 v(x,0)=v_0(x),x∈R 在C~1([0,∞);H~s(R))中存在唯一整体广义解和唯一整体古典解,并研究解的渐近性质。还证明Cauchy问题 在C~1([0,∞);W~(m,p)(R)∩L~∞(R))中存在唯一的整体广义解和唯一整体古典解,并讨论解的渐近性质。通过伸缩变换 分别将上述两个Cauchy问题转化为与之等价的Cauhcy问题 和Cauhcy问题 得到的主要结果是: 定理6设下面的条件成立: (1) s≥2,u_0∈H~s; (2) f∈C~([s])(R); (3) g∈C~([s]+1)(R),g(0)=0且存在常数C_0,使得对任意的s∈R,d/(ds)g(s)=g′(s)≤C_0; (4)φ∈C~([s])(R)且对任意的s∈R,φ(s)s≥0或者存在常数C_1,使得φ′(s)≥C_1。则cauchy问题(7),(8)存在唯一整体广义解u∈C~1([0,∞);H~s)。 定理7设u(x,t)是问题(7),(8)的一个整体广义解或整体古典解。如果u_0∈H~1,f∈C~1(R),g∈C~2(R),g(0)=0且对任意的s∈R,g′(s)≤C_0<0;φ(s)s≥0或者φ∈C~1(R),并存在常数C_1≥-β使得φ′(s)≥C_1,(?)s∈R;则u(x,t)满足 定理8假设 (1) u_0∈W~(m,p)∩L~∞(m≥2是整数); (2) g∈C~(m+1)(R),g(0)=0且对任意的s∈R,g(s)s≤0或者存在常数C_0使得g′(s)≤C_0,(?)s∈R。则Cauchy问题(9),(10)存在唯一整体广义解u∈C~2([0,∞);W~(m,p)∩L~∞)。 定理9设定理8中的条件成立,g∈C~(k+m+1)(R),其中k≥0是任意整数。则问题(9),(10)的广义解u(x,t)∈C~(k+2+1)([0,T];W~(m-l,p)∩L~∞)((?)T>0),0≤l≤m。若k=0,l=0,m>2+1/p,则问题(9),(10)有唯一古典解u∈C~2([0,∞);W~(m,p)∩L~∞),即u∈C~2([0,∞);C~2(R)∩L~∞)。 定理10设u(x,t)是问题(9),(10)的整体广义解或整体古典解。若u_0∈H~1,g∈C~2(R),g(0)=0和对任意的s∈R,g′(s)≤C_0<0,则u(x,t)满足 在第五章中,考虑一类Boussinesq方程的Cauchy问题 解的存在性和唯一性,其中f(u)=β|u|~p。利用位势井方法,证明此问题整体解的存在性和解在有限时刻爆破。主要结果是: 定理11假设1≤s<p,φ∈H~s,ψ∈H~s∩(?)~(-1),E(0)≤d。当‖φ‖~2+α‖φ_x‖~2≤(2(p+1)d)/(p-1)时,则Cauchy问题(11),(12)有唯一整体解u∈C~1([0,∞);H~s);当‖φ‖~2+α‖φ_x‖~2>(2(p+l)d)/(p-1),且E(0)=d时((-(?)_x~2)~(-1/2)φ,(-(?)_x~2)~(-1/2)ψ)+(φ,ψ)+(φ_x,ψ_x)≥0,则问题(11),(12)的解在有限时刻爆破。 在第六章中,讨论下列广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的初边值问题 方程(13)的初边值问题和方程(13)的初边值问题 整体广义解的存在性和唯一性,初边值问题(13),(18),(19)解的爆破,以及初边值问题(13)-(15),初边值问题(13),(16),(17)和初边值问题(13),(18),(19)解的衰减性质。 主要结果有: 定理12假设下面条件成立: (1) u_0∈H~4(Ω); (2) f_i∈C~3(R)(i=1,2,3)和存在常数K>0,使得(?)s∈R,|f′_j(s)|≤K,i=1,2,3; (3) g∈C~4(R),g′(s)≥A,和|g′(s)|≤K_1|s|~(ξ_1+1),其中A和K_1>0为常数,0<ξ_1<3; (4) G∈C~2(R),G′(s)≤B,|G′(s)|≤K_2|s|~(ξ_2),其中B和K_2>0为常数,0<ξ_2<8。则初边值问题(13)-(15),或初边值问题(13),(16),(17)或初边值问题(13),(18),(19)存在唯一整体广义解u∈C([0,∞);H~4(Ω))和u_t∈L~2([0,∞);H~2(Ω))。 定理13设u(x,t)是问题(13),(18),(19)的广义解。又设下列条件成立: (1) g∈C~2(R),f_j(j=1,2,3)=0; (2)∫_Ωu_0(x)dx=ζ>0; (3) G∈C~2[0,∞)是[0,∞)上的正凸函数; (4)当s→∞时,G(s)增长得足够快,使得积分 收敛,则在某个有限时刻t_0≤T_0, 其中T_0由(20)给出。 定理14假设下列条件成立: (1) u_0∈H~1(Ω); (2) f_j∈C~1(R),(?)s∈R,|f_j(s)|≤K,j=1,2,3,其中K为正常数; (3) g∈C~2(R),且存在常数A使得,(?)s∈R,g′(s)≥A; (4)_G∈C~1(R),G(0)=0并存在常数B>0,使得对任意的s∈R,G′(s)≤-B; (5)存在0<ε_0<2B,使得2δA+2β-K~2/ε_0>0.则初边值问题(13)-(15),或初边值问题(13),(16),(17)或初边值问题(13),(18),(19)的整体广义解具有渐近性质 其中


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