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各向异性及双参数非协调有限元方法研究

王彩霞  
【摘要】: 近年来,各向异性有限元方法已成为有限元领域的热点问题,陆续出现了许多有关此方面的理论及应用研究成果,见[26,27,53,54],其中大部分工作主要是针对二阶或四阶椭圆边值问题协调与非协调元的插值误差估计进行的。目前,各向异性有限元方法的主要挑战性工作有: (1).由于在各向异性网格剖分下,Bramble-Hilbert引理[4]不能直接引用,因此插值误差的估计无法按照传统的有限元误差估计技巧进行。对于非协调有限元来说,相容误差的估计是十分困难的,因为当网格剖分不再满足正则假设,拟一致假设或反假设时,相容误差中有关边界项的估计,将出现的因子|F|/|K|,当F是单元K的最长边时,该因子可能会趋于无穷大,无法保证收敛性,需要探索新的途径和边界估计技巧。 (2).已有的一些单元是不具备各向异性特征[77]的,如Th.Apel在[53]中已证明,较新的旋转Q_1元[36]是不能用于各向异性网格的,并且举出了反例; (3).对于混合元方法来说,插值算子在各向异性网格下的适定性,稳定性以及LBB条件(混合有限元方法的关键)等验证工作都有和大的难度。 另外,超收敛研究也是有限元领域备受关注的问题之一,出现了许多高精度有限元的研究,但是,基本上也是在正则网格剖分下讨论的,有关各向异性单元的超收敛性质的研究则相对较少,且难度也较大,主要是因为后验插值算子的构造以及各向异性特征的验证等都十分困难。 另一方面,如何构造高效的板单元的研究一直是有限元领域的热点和难点,由于”双参数”有限元具有自由度小并能兼顾收敛性的特点,本文利用双参数有限元的思想构造了两个可用于四阶板问题的单元(一个是具有各向异性特征的12参矩形元,另一个是三角形九参数元) 本文主要系统研究两大类问题:一是选取几个典型的各向异性非协调元,如矩形Wilson元,三角形Carey元,一类Crouzeix-Raviart型元,五节点元等,分别对位移障碍下变分不等式问题,二阶椭圆边值问题,Stokes问题和平面弹性问题做了进一步深入探讨;二是并利用双参数有限元法构造了8自由度12参矩形板元和三角形九参元,对矩形板元我们进行了超收敛分析,对双参数三角形板元分析了其收敛性并给出了数值实验,结果表明理论分析和实际计算是相吻合的。 具体地讲,位移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法主要由两部分组成: (1)以两个著名的非协调有限元矩形Wilson元[20]和三角形Carey元[9]为例,研究位移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法,通过引入新的技巧,得到了与传统有限元方法相同的最优误差估计,这一部分中使用的方法对一类可分离出协调部分和非协调部分,且通过Irons分片检查的单元均成立; (2)讨论了各向异性网格下位移障碍下变分不等式问题的一类Crouzeix-Raviart型非协调有限元(特别是三角形元)逼近,通过另外一种完全不同于(1)的新的误差估计技巧,在自由边界长度有限及精确解的正则性假设条件下,得到了与[1,11,51]相同的最优误差估计。本文的结果再次证实了一个重要结论,即对于位移障碍下变分不等式的非协调有限元方法的收敛性分析,网格剖分的正则性假设不是必要的,从而拓宽了有限元尤其是非协调有限元的应用范围。 其次本文又利用三角形Carey元研究了二阶椭圆问题的收敛性及误差估计。在已有的相关文献中,大多数要求问题的解u∈H~2(Ω)或u∈H~3(Ω),[4]、[52]和[50]针对u∈H~4(Ω)时研究了协调线性三角形元的收敛性。以[4]为基础,[49]和[52]在同样条件下对非协调有限元做了探讨。上述文献均要求网格剖分满足正则假设或拟一致假设。本文利用不同于文献[49,50,52]的新的技巧和方法,在各向异性网格剖分和解的弱正则条件下,得到了和他们同样的结果。并且,本文中的结果对其他的一些非协调有限元,如各向异性Wilson元,各向异性类Wilson元等也成立。 再次,本文研究二阶椭圆问题和Stokes问题的低阶元混合有限元方法。对二阶问题,构造了一个新的单元格式,当其精确解具有低正则性时,在不要求网格满足正则假设或拟一致假设的条件下,我们得到了最优误差估计,与[33]相比,我们的证明方法较为简单;对于Stokes问题,研究五节点非协调矩形元对它的逼近,通过引入全新的估计方法,给出了关于速度、压力的超逼近性质。同时,通过巧妙的构造了一个适当的插值后处理算子,技巧性的导出了在各向异性网格下的超收敛结果,丰富了有限元(特别是非协调有限元)方法的内容。本文的结果同样适用于[36,48]在正则网格下所讨论的的旋转Q_1元。 接下来,本文研究了平面弹性问题,结合[29,78]的思想,直接构造了一个新的可以用于各向异性网格的矩形非协调元,利用其所具有的特殊性质,并通过引入辅助空间及新颖的估计方法,在各向异性网格剖分下对纯位移平面弹性问题的Locking现象进行了研究,发现该元是Locking-Free的,同时得到了最优能量范数和L~2范数误差估计。值得指出的是由于这里的估计技巧非常特殊(特别是关于相容误差的估计),完全不同于以往正则假设下的非协调元误差分析,因而更具有理论意义和应用价值,从而拓宽了各向异性有限元方法(尤其是非协调元)的应用范围。 最后,利用双参数有限元法构造了8自由度12参矩形板元和三角形九参元: (1)通过[47]中的单元上的形函数空间修正为P_2∪span{x~3,y~3},节点参数取为顶点函数值与一阶偏导值,构造了一个新的8自由度12参矩形板元,利用单元的特殊构造和全新的思路和技巧,证明了在各向异性条件下证明了该单元的收敛阶也可以达到O(h~2)阶。同时,利用Bramble-Hilbert引理证明了该元有O(h~2)阶的超收敛性。上述结论在目前相关的文献中还未见报道; (2)通过对Morley元的改进,构造了一个新的九参数三角形板元。新单元的形函数空间和实际节点参数分别同Morley元及Zienkiewicz元相同。因此,新单元的总体自由度只有Morley元的3/4。理论和数值实验结果表明,新单元形函数的外法向导数在单元间连续,通过F-E-M-Test,具有计算方便、收敛效果更好的优点,而且自由度选取对称,对任意三角形剖分收敛,克服了Zienkiewicz元和广义协调元的缺陷。同时,新单元对弯距的计算效果比Morley元和Zienkiewicz元都要好。不仅如此,本文最后对新单元的数值结果进行了外推运算,其数值效果得到了很大的改善。因此,该元是目前为止较为理想的有应用价值的板单元。


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