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非协调有限元的构造及其应用

郝晓斌  
【摘要】: 本文构造了几个新的非协调有限元,系统地研究了它们的收敛性质并讨论了它们的一些应用.这些非协调元包括:Quasi-Carey元,Quasi-Wilson元,高次Wilson元以及二阶非协调混合元. 与协调元相比,非协调元具有许多优势.一般来说,对某些问题,它们构造简单,同时还具有很好的收敛效果,例如Morley元和Wilson元.另外,相对于协调混合元,非协调混合元更容易构造地使其满足离散inf-sup条件,因此非协调元的研究得到科学工作者和工程师的广泛关注.根据第二Strang引理,非协调元的误差包括两部分,一部分为插值误差,另一部分为相容误差,许多情况下相容误差的阶低于或等于插值误差的阶.对于二阶椭圆问题,本文构造的Quasi-Carey元相容误差为O(h~2),比插值误差高一阶;在矩形网格上,本文证明了传统的Quasi-Wilson元的相容误差为O(h~3),比插值误差高两阶,同时还给出了一个新的Quasi-Wilson元,它的相容误差在任意四边形网格上为O(h~3);经过仔细分析,我们首次证明了在各向异性网格上,高次Wilson元插值误差为O(h~3),比相容误差O(h~2)高一阶. 作为应用,在第二章,我们得到了各向异性网格上Quasi-Carey元关于Sobolev方程O(h~2)阶的整体超收敛和后验误差估计,根据误差渐近展开得到了O(h~4)阶的整体外推结果.第三章,我们根据Quasi-Wilson元的特殊收敛性,把它应用到对流扩散方程,得到了与双线性元和P_1~(mod)元相同的O(h~(3/2))阶的最优收敛阶.第四章首先分析了高次Wilson元在各向异性网格上的收敛性质,并给出数值试验说明了理论分析的有效性.接着导出了高次Wilson元的整体超收敛性质,并在此基础上给出了解的后验误差估计.第五章把Quasi-Carey元和修正的高次Wilson元应用到Maxwell方程的有限元格式,得到了Crouzeix-Raviart型三角形非协调元,Carey元以及高次Wilson元达不到的最优收敛结果.第六章我们用两个新的具有O(h~2)阶的非协调元格式离散不可压Navier-Stokes方程,得到了速度的H~1-模和压力的L~2-模的O(h~2)阶的误差估计以及速度的L~2-模的O(h~3)阶的误差估计,同时还给出了数值算例来验证误差分析的有效性.


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