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发展型方程的非协调有限元研究

王海红  
【摘要】:有限元方法是当今科学与工程计算中的主流方向之一。由于非协调元与协调元相比有很多优势,如:对于自由度定义在单元的边上及单元自身上的非协调元来说,由于每个未知量只涉及两个单元,因此在信息传递上足廉价的,而且容易进行并行计算。相对于协调混合元,非协调混合元更容易构造使其满足LBB条件,因此非协调元的研究得到广泛的关注。此外,传统的有限元方法要求剖分满足正则性条件或拟一致假设,这些条件在一定程度上限制了有限元的应用。在实际应用中,对于窄边区域上的问题,如果采用传统正则剖分,总体自由度的增加将会使计算量非常大。这时采用各向异性剖分,就会使得用较少的自由度而得到同样的估计结果。目前各向异性有限元方法已经成为有限元领域备受关注的热点之一。 本文针对不同的发展型方程(包括Sobolev方程、抛物型积分微分方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程、非定常的热传导-对流方程等),分别从各向异性非协调有限元方法、非协调差分-流线扩散方法、非协调混合有限元方法等不同角度出发,对单元的构造,理论分析及数值计算等方面进行深入系统的探讨。 第三章和第四章考虑了具有各向异性特征的低阶非协调单元(包括矩形元和三角形元),将它应用到Sobolev方程和抛物型积分微分方程,在半离散格式下得到了L~2模和H~1模的最优估计以及H~1模的超逼近和超收敛结果。而且还给出了Eulcr-Galerkin格式和Crank-Nicolson-Galerkin格式的全离散分析。所给出的大量数值试验也验证了理论结果的正确性。第五章研究了一类对流占优非线性Sobolev方程的经济型差分-流线扩散非协调有限元方法。分别给出了Euler-EFDSD和Crank-Nicolson—EFDSD格式的最优的精度分析。第六章,考虑了一类非线性双曲方程的非协调H~1-Galcrkin混合有限元方法并给出了半离散格式的H~1模和H(div)模的最优估计。第七章还考虑了非定常的热传导-对流方程的非协调混合有限元方法,在半离散格式下,得到了关于速度L~2(H~1)-模,压力L~2(L~2)-模和温度L~2(H~1)-模的最优误差估计。


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