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一类分数阶微分方程的解

郭亚男  
【摘要】: 分数阶微分方程是含有未知函数的分数阶导数的方程.分数阶微分方程是对传统的整数阶微分方程的推广.分数阶微分算子能非常有效的描述各种各样物质的性质,在许多领域发挥着越来越重要的作用,刻画自然现象的分数阶微分方程也大量涌现,引发了人们研究分数阶微分方程的热潮.关于分数阶微分方程的求解,有时可以沿用传统方法,例如Laplace变换法.不过众所周知,在应用Laplace逆变换求解原函数时,存在一定困难,对于分数阶情况,难度要大许多,需要复杂与巧妙的计算方法与技巧. 本文主要讨论一类刻画具阻尼项的振动现象的分数阶微分方程——关于时间用v( 0 v 2)阶分数阶导数代替一阶导数.首先,考虑有限维动力系统,常微分方程,利用Laplace变换方法,复围道思想,通过一系列复杂的精细计算,克服了复数的多值情况,求得原函数,进而得到方程解的解析表达式.然后,考虑无穷维情况——偏微分方程,利用传统的分离变量法、特征函数展开法、叠加原理等理论方法,分别得到多个相关问题解的级数表达式.


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