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各向异性双k次元的超收敛性分析与双参数元构造

张帅  
【摘要】: 有限元方法是求解工程力学问题的重要数值方法之一,它是通过将微分方程求解区域剖分,利用场函数分片多项式逼近模式将连续的、无穷维空间问题化为离散的有限维空间问题来实现求解的.传统有限元理论分析中的基本理论都是建立在正则性假设或拟一致性条件的基础上,然而在运用有限元方法求解某些复杂问题时,正则性条件和拟一致性条件不一定满足. 本文在各向异性网格下,即在无正则性条件或拟一致条件下,对双三次Hermite矩形元的自然超收敛性与点态超收敛进行了分析.文章通过利用双线性引理和Bramble-Hilbert引理,充分挖掘双三次Hermite单元本身的构造特征,得到了关于双三次Hermite矩形元的自然超收敛性及点态超收敛性,该结论与传统有限元正则性条件下的结论一致;利用类似的方法,结合已有文献的结论,给出了双三次Hermite元在H~n(Ω)空间中求解时的超收敛性的一般形式;同时综合国内相关文献的结论,给出了双K次Lagrange矩形元在求解二阶问题时的各向异性网格自然超收敛性与点态超收敛的一般性证明方法.最后文章对双参数板元的构造进行了讨论,构造出两个新的双参数矩形板元,并证明了其收敛性,给出了误差估计;同时计算了节点参数扰动量,并与著名的ACM元进行了比较.


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