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P自适应局部时间步长间断有限元及其在浅水方程中的应用

曾庆斌  
【摘要】:间断有限元作为一种数值模拟双曲守恒律问题的新型有限元方法,有着很多区别于连续有限元的潜在优势,比如局部守恒性,内在并行性等等,但是也有着诸如自由度较多等问题。较多的自由度将带来计算量的增加,特别是高阶间断有限元的自由度增加的更多,直接影响了计算效率。除了自由度问题外,影响间断有限元的计算效率的因素还有计算时间步长的选择。标准间断有限元,要求使用全局最小时间步长,当绝大部分单元的满足稳定性要求的局部时间步长比全局最小时间步长大得多的时候,这种选择就会极大地影响计算效率。 提高间断有限元的计算效率的关键就是要解决上述两个制约因素。本文针对浅水流动问题的间断有限元数值模拟,为了提高计算效率,主要进行了两方面的研究工作,具体来说: (1)为了解决最小时间步长带来的问题,本文采用了基于时空Taylor展开的新型单步间断有限元的局部时间步长算法,同时为了消除间断解的数值振荡问题提出了限制器在局部时间算法中的使用方法,扩展了原有方法的使用范围。局部时间步长算法的特点是各个单元能够采用各自满足稳定性要求的时间步长步进更新。采用多步法的传统Runge-Kuttal司断有限元虽然可以采用局部时间步长算法,但是对时间步长添加了一些限制条件,在一定程度上限制了局部时间步长算法的使用效率。基于时空展开的间断有限元能够自然地结合局部时间步长算法,本文利用这种新型单步间断有限元和局部时间算法模拟了一(二)维浅水方程,验证了局部时间算法提高计算效率的有效性。 (2)为了解决间断有限元自由度过多问题,本文提出了p自适应策略结合新型单步间断有限元和局部时间步长算法的方法。p自适应策略依据数值解的空间变化情况自适应地调节单元插值多项式的次数,由于只在解变化剧烈的局部地区采用自由度较多的高阶格式,而在绝大部分区域使用较少自由度的低阶格式,整体上减少了计算的自由度,从而提高了计算效率。p自适应策略与局部时间步长算法的结合进一步提高了计算效率。本文利用p自适应策略结合局部时间算法模拟了部分溃坝问题,数值结果显示,一方面插值次数分布与数值解变化情况能够正确地对应,同时计算效率也进一步得到了有效地提高。


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