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可压缩超弹性薄板的渐进模型方程及分岔分析

王元斌  
【摘要】:本论文主要研究可压缩超弹性薄板在受压条件下,第一次和第二次分岔后的平衡状态。该古老问题已被从各种不同的角度研究过。通常情况下,很难找到第一次分岔后的解析解,特别是第二次分岔后的解析解。利用二维或三维连续力学公式对弹性材料在受到轴向压力时的分岔研究已有不少的结果。但是对于任意超弹性材料分岔后的一般性分析在文献中非常少见,其主要原因是分岔分析的计算非常复杂。这也是本论文的一个研究动机。尽管在不少的文献中已提到利用数值与渐近方法研究一般的弹性材料分岔问题,而本文工作的主要目标是找到可压缩超弹性非线性薄板分岔解的渐近分析解。 本论文的主要工作如下: 对一个可压缩超弹性材料,从二维场方程出发,利用耦合渐近展开法将该场方程转化为由两个耦合非线性常微分方程所组成的渐近模型方程组。利用线性分岔理论得到了临界屈曲载荷,且与文献中的结果吻合得非常好。运用多尺度方法求解渐进模型方程,并得到第一次分岔后的二阶近似解析解。进一步,我们得到了首次屈曲后振幅的解析表达式。运用两种不同的数值方法求解模型方程,并得到相应的数值结果,其中一种是运用差分法对渐近模型方程进行求解,另一种是运用有限元法直接求解二维场方程。结果表明本文得到的位移的解析解,数值解及有限元数值解与Lyapunov-Schmidt-Koiter(LSK)方法得到的解吻合得非常好。同时也发现,尽管薄板在受压的状态,但在一些地方轴向应变是处于拉伸状态。 为了研究二次分岔,我们在第一分岔的状态上叠加一个小的变形。在得到第一次分岔状态解析解的条件下,将模型方程的二次分岔分析转化为二阶变系数常微分方程的第一次分岔分析。通过渐近分析,得到了一个具体函数(4.16),通过判断该函数是否具有零点来判断二次分岔是否发生。从微分方程理论可知,该函数的零点对应于原变系数常微分方程的转向点,而转向点的出现则意味着解的不稳定性。通过进一步分析并利用WKB扰动方法,得到了确定二次分岔点的方程。与此同时,利用AUTO数值求解二次分岔点,进一步证实了理论结果的可靠性。通过求解二次分岔路径上的数值解。得到了二次屈曲后的薄板形状,该结果表明薄板的二次分岔状态将导致“双波数”现象及薄板形状沿轴线方向凸性发生变化。


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