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关于由次分数Brown运动驱动的随机微分方程的研究

匡能晖  
【摘要】:最近,长相依性在各种科学领域包括水文、电信、湍流、图像处理和金融等的随机模型中变得很重要。最著名且应用最多的呈现长相依性的过程是分数Brown运动。作为Brown运动的一种推广,Bojdecki等人2004年引入并研究了一类特殊的自相似的Gauss过程,该过程保留了分数Brown运动的许多性质(如自相似性,长相依性,轨道的Holder连续性以及既不是半鞅,也不具有马氏性)。这一特殊过程被称为次分数Brown运动。次分数Brown运动与分数Brown运动最大的区别在于分数Brown运动具有稳定的增量,而次分数Brown运动没有稳定的增量。由于次分数Brown运动既不是半鞅,也不是马氏过程,因此强有力的随机分析的工具不能应用,我们需要利用Malliavin积分理论来探讨由次分数Brown运动驱动的随机微分方程的研究。 在第1章中,介绍了本文的研究背景和相关的预备知识,呈现了论文所得到的主要结果。 在第2章中,研究次分数Brown运动。首先,得到了基于离散观测的带漂移的次分数Brown运动的均值与方差的极大似然估计的L2相合性和强相合性。结合Stein方法和Malliavin积分理论,得到这些估计的中心极限定理和Berry-Esseen界。其次,基于随机游动逼近次分数Brown运动,构造了次分数Brown运动的漂移参数的近似的极大似然估计,并研究了该估计的渐近行为,数值模拟结果表明该估计具有一定的优越性。此外,利用Malliavin积分理论,证明了,当0H1/6时,次分数Brown运动SH的加权三次变差L2收敛到一个显示极限,该极限仅依赖于SH。 在第3章中,利用Malliavin积分理论,探讨了α-次分数桥的参数α的最小二乘估计的渐近性。这个估计是否具有强相合性依赖于α的取值。当具有强相合性时,还得到了其收敛速度。 在第4章中,首先研究次分数Ornstein-Uhlenbeck过程,得到了基于离散观测的次分数Ornstein-Uhlenbeck过程的未知参数的最小二乘估计的Berry-Esseen界。其次探究次分数O-U型过程的漂移参数的序列极大似然估计的一些渐近性质。 在第5章中,考虑了再保险破产的理论问题。假设某保险公司有两种独立类型的赔偿:一种是大额赔偿,可由Markov可加过程建模;另一种是小额赔偿,可用次分数Brown运动建模。根据定额分享策略选择两者的再保险,这导致需要研究二维风险过程。利用大偏差理论,得到了,当初始储备金沿着某个方向趋向无穷时,二维风险过程之一破产概率的渐近表达式。 在最后一章中,基于离散观测,利用极大似然方法,研究混合次分数Brown运动的参数估计问题。我们得到了这些估计的渐近性质,结合Stein方法和Malliavin积分理论证明了相应估计的渐近正态性。


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