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带多个全特征退化方向的椭圆边值问题以及演化方程的若干研究

田书英  
【摘要】:本文主要研究带多个全特征退化方向的椭圆边值问题,包括解的存在性和多解性,以及变号解的存在性和多解性;带位势的动力学方程解的L2正则性;带对数非线性项的半线性拟抛物方程解的整体存在性和爆破。全文共分六章,具体如下:在第一章中,首先我们回顾奇异流形和其上椭圆边值问题(即带多个全特征退化方向的椭圆边值问题)的研究历史和发展现状,然后介绍动力学方程和拟抛物方程问题的来源和研究现状,最后叙述本文的主要结果。在第二章中,我们分别回顾锥、楔、角奇异流形和其上加权Sobolev空间的定义,以及一些基本的不等式。同时,在锥奇异流形上建立距离函数和Pohozaev型恒等式,在角奇异流形上建立Hardy型不等式。最后总结了奇异流形上一般的Hardy型不等式。在第三章中,我们研究锥奇异流形上渐近线性型椭圆方程-△Bu+λα(Z)f(u),z∈N+,正解的存在性。利用Pohozaev型恒等式、质心函数以及其极限方程解的性质,结合环绕定理我们得到该方程存在一个非平凡的正解。在第四章中,我们考察楔奇异流形上半线性椭圆方程解和变号解的存在性及其多解性,其中λ>0,N=1+N+q,n≥1,q≥1,2<p<2N/N-2.利用对称山路引理和新的环绕定理分别得到无穷多个解和变号解的存在性。在第五章中,首先我们研究带Hardy势的角Laplace算子(即-△Mu-uVu的谱分解定理,然后用它得到如下带势函数的退化椭圆型方程解和变号解的存在性及其多解性,最后,利用扰动方法得到如下带扰动的半线性椭圆型方程变号解的存在性和多解性,在第六章中,首先我们研究如下带位势的动力学方程аtu+y·(?)xu—(?)x.V(x)·(?)yu=f(t,x,y),解的L2正则性,应用乘子方法从速度变量的正则性得到空间变量的正则性,去掉了Bouchut文章[JMath.Pure Appl.,81,2002]中对指标的一些限制,得到更一般的结果;同时对位势做了估计。最后,利用位势井方法得到如下带对数非线性项的拟抛物方程解的整体存在性、渐近估计和在+∞爆破。我们的结果不同于Xu-Su文章[J.Funct. Anal.,264,2013]中的结果;当上述方程右端为多项式非线性项时,他们得到解在有限时刻爆破。同时由于黏性项△ut的影响,我们只能得到解以任意阶多项式形式增长。


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