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发展方程的时间最优控制问题的bang-bang性

张与彪  
【摘要】:本文主要研究一些发展方程的时间最优控制问题的bang-bang性.通过引入范数最优控制问题,建立时间最优控制问题和范数最优控制问题之间的等价性,将时间最优控制问题的bang-bang性转化为范数最优控制问题的bang-bang性,然后我们研究以下发展方程类型:(1)当发展方程为时不变时,研究能达子空间并建立相应的两个表示定理,得到了范数最优控制问题的Pontryagin最大值原理,结合方程的某种弱的任意正可测集上的唯一延拓性得到了范数最优控制问题的bang-bang性,由此和前面所说的等价性导出时间最优控制问题的bang-bang性;(2)当发展方程为带时变位势的热方程时,直接利用带估计的任意正可测集上的能控性得到范数最优控制问题的bang-bang性,然后结合前面所说的等价性导出时间最优控制问题的bang-bang性.本文共包括四章.第一章为前言,主要阐述本文的研究背景和研究动机.在这章中,列出了本文中经常使用到的数学记号.然后以常微分方程为例,介绍了时间最优控制问题.接着回顾了导出时间最优控制问题的bang-bang性的方法的发展和研究现状.第二章的主要内容来自[WZ].在这章中,主要研究时不变抽象控制系统的时间最优控制问题的bang-bang性.这里考虑的目标集为状态空间的原点,以及控制系统可能没有任意区间上的L∞-零能控性和倒向唯一性.更加确切地说,我们研究时间最优控制问题的bang-bang性是如何依赖于参数(M,y0),其中M0是控制的球型约束集的半径以及y0为初始状态.对于时间最优控制问题的参数空间,我们将它分为了几个部分,并且对每个部分回答了相应的bang-bang性是否成立,除了一条临界曲线.值得一提的是,这条临界曲线在系统具有任意区间上的L∞-零能控时为空集.第三章的主要内容来自[WXZ].在这章中,主要研究时变热方程的时间最优控制问题的bang-bang性.其核心思想是引入范数最优控制问题,建立时间最优控制问题和范数最优控制问题的等价性,然后将时间最优控制问题的bang-bang性转化为范数最优控制问题的bang-bang性,而范数最优控制问题的bang-bang性可以利用任意时间正可测集上的带估计的L∞-零能控导出.在建立上述等价性的过程中,最困难的是证明最优范数关于时间的左连续性,我们需要某种假设条件保证其成立,从而得出此假设是时间最优控制问题的bang-bang性成立的充分条件.最后证明了在某些特殊时变情形(包含时不变情形)下这个假设成立.第四章的主要内容来自[Z1].从前面两章中可以看出,为了得到时间最优控制问题的bang-bang性,我们建立了它与范数最优控制问题的等价性,然后研究范数最优控制问题的bang-bang性.这个等价性是研究时间最优控制问题的有力工具.它提供了另一个视角来看待时间最优控制问题.在这章中,主要研究Schrodinger方程的时间最优控制问题和范数最优控制问题的等价性.


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