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随机环境中马氏链的极限性质

肖争艳  
【摘要】:随机环境中的马氏链(简记为MCRE)是近几十年的随机过程领域中热点研究问题。它研究的是转移函数含有随机参变量的马氏过程。Nawrotzki和Cogburn建立了随机环境中的马氏链的一般定义,并把MCRE与Hopf马氏链理论联系起来,得到了许多重要性质。Orey对此方面的工作作了综述,并提出了一系列的开问题。Kifer研究一般状态空间随机环境马氏链的中心极限定理,重对数律,大偏差等极限性质。本文将在这些文献的基础上研究MCRE的极限性质,主要包括以下几个方面的内容:随机环境中马氏链的状态分类及其与双链的相互关系;绕积马氏链的不变测度和遍历性;随机环境中马氏链的遍历极限,强大数定律,泛函的极限分布;随机环境中多维分枝链的增长率。特别地,我们研究了随机Doeblin条件下随机环境中马氏链的极限性质。本文内容由以下6章组成。 第二章主要讨论随机环境中马氏链和它派生出来的绕积马氏链、Hopf马氏链和p-(?)链的定义和性质。本文首先给出了随机转移矩阵和MCRE的定义,并由一族随机转移矩阵和无穷维乘积空间空间上的一个概率测度构造MCRE,绕积马氏链和p-(?)链。其次介绍了Hopf马氏链的定义,并详细论述了随机环境中马氏链与Hopf马氏链,绕积马氏链之间的相互关系。 第三章主要讨论随机环境中马氏链的各种状态的特征以及各类状态之间的联系。利用一般马氏链的理论,首先给出了绕积马氏链的特征数的定义和相互关系。由这些特征数定义了随机环境中马氏链的强常返,弱常返,强暂留,本质,正则本质等状态。证明了状态是强常返的,则一定是弱常返的。状态是强暂留的,则一定是非本质的。定义了状态之间的可达性和一致可达性,指出如果状态x是正则本质的且x可达状态y,则y是正则本质的。如果x是本质(强常返)的,且x一致可达y,则y是本质(强常返)的。本文还给出在联合空间不可分解且正则本质的条件下,状态正则本质的充要条件。最后举例说明了随机环境中马氏链的强常返与弱常返是不等价的,因此本文对状态的定义是有意义的。 第四章通过引入Hopf马氏链的遍历理论来讨论绕积马氏链的不变测度与遍历性质。首先我们介绍遍历理论和不变测度的基本知识,以及Hopf马氏链的遍历理论。然后定义了绕积马氏链的不变测度和最大不变测度。给出绕积马氏链的不变测度的存在的充要条件是正常返集非空。本文还证明了任何一个不变测度都可唯一分解成为遍历不变测度的线性组合。最后,我们得到了绕积马氏链的遍历 定理. 第五章利用绕积马氏链的遍历性质来研究随机环境中马氏链的遍历极限.首 先我们定义随机环境马氏链的弱遍历性和状态之间的相遇关系,并证明在正常返 集上相遇关系是一种等价关系.然后讨论等价关系与弱遍历性的关系,当每个最 小闭集上只有一个等价类时证明了随机环境中马氏链的平均遍历极限定理和弱 遍历定理.最后,证明了当随机Doeblin条件满足时,任何初始分布都将以指数 阶收敛到一个随机测度,并进一步证明关于绕积算子的遍历测度存在,由此得到 了随机环境中的马氏链的强大数定律. 第六章主要利用绕积马氏链的平稳遍历性质研究随机环境中的马氏链的泛 函的不变原理.假设假设正常返集是一个最小封闭集,且一致混合条件和某些二 阶矩条件满足,本文在Kifer的基础上,证明了随机环境中马氏链泛函的极限分 布是Wiener分布.特别地,由于随机Doeblin条件下的随机环境中的马氏链满足 一致混合条件,因此我们得到了此类马氏链的泛函的极限分布. 第七章主要在随机环境马氏链的框架下,研究随机环境中多维分枝过程(简 记为MBPRE)的极限性质.首先,我们给出了MBPRE的定义,并证明了这种定 义是与Athrey和Karhn(- 1972)的定义是一致的.本文获得了母函数和矩的一些 重要性质,利用这些性质以及随机矩阵乘积的弱收敛性质证明了上临界MBPR.E 的条件均方收敛性与a.s收敛性.


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