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鞅的极小算子与加权不等式

左红亮  
【摘要】:上个世纪七十年代以来鞅论的研究日渐活跃起来,其在理论和应用上的重要性也日益突出。鞅论的思想方法不仅为许多重要结论提供简捷的证明而且导致了许多新的问题的发现和解决。鞅理论已经成为随机过程与随机分析等理论的重要研究对象和必不可少的一个工具,并在形形色色的实际问题(如奖券收集、传染病估计以及一些经济数学问题等)中派上了用场。 在鞅论的发展过程中,鞅空间上的不等式一直是深受关注的研究热点。这些鞅不等式的证明使得鞅空间上各种算子之间的联系进而各种空间之间的嵌入关系得以建立,人们正是通过研究各种形式的鞅不等式来达到研究鞅自身性质的目的,在这些工作中,加权不等式的理论在鞅论中占有十分重要的地位,并被广泛地研究,因为只要选择合适的权函数,就可以把不等式推广到更一般的测度空间上,这样以来不但研究范围扩大了,而且算子性质和空间结构也相应地有所改变。所以说权理论的研究还是很有意义的。 龙瑞麟先生曾经提到要讨论关于({F_n}_n≥0,μ)可测的鞅的极大算子、均方根算子以及条件均方根算子的L~p(ωdμ)有界性,或它们之间的(?)~Φ有界性时,所设的主要条件是A_∞与条件S(或者它们中的一部分),有了这两个条件在讨论加权问题时基本上没有什么困难,但是要想用更弱的条件来代替它们,即使在古典情况下(此时S条件是自然满足的)也恐怕还不到时候。既然我们目前知道的这些算子减弱条件不行,那么是否可以定义一个新的算子,在较弱的条件下来讨论其L~p(ωdμ)有界性;而且,条件减弱到什么程度也是一个极好的研究课题。 加权理论中,b_λ条件是A_p权的自然推广,而对b_λ条件的讨论仅限于λ<0和λ≥1的情况,事实上0<λ<1情况下的b_λ条件不是平凡的,却未加讨论,究其原因就是目前我们所知道的算子已无法来刻画该情况下的b_λ条件。这时候极小算子应运而生。那么极小算子有没有意义,能够解决哪些问题,有什么应用等等都是本文的主要研究内容。 本文中我们首次在鞅空间上定义了极小算子和几何极大算子的概念,并建立了关于相关算子的加权不等式,在讨论加权不等式时把指标p的范围扩大到包含0<p<1的情况,并通过这些鞅不等式深入研究W_(p,p)、W_(p,p)~*、W_∞和W_∞~*等权的性质以及W_(p,p)权与A_(p,p)权的关系。揭示了这些加权的鞅不等式与对应的 权的特殊性质之间的等价关系;我们还借助于极小算子定义了RH南权类,刻画 了鞍空间中、1情形下的RHa权类的结构,即对满足反向H6lder不等式的 权作了因子分解;接着我们就单、双权意义下关于加权不等式的外推分别加以讨 论;最后还列出了我们至今还未能解决的一些课题. 具体来说,本文共由五部分组成: 第一章详尽地介绍了本课题的相关背景,研究动机以及所取得的主要结果. 第二章引入了软空间上极小算子。了的概念,众所周知,极大算子可以控制 一个“较大”的鞍,那么形象地说,极小算子就是用来控制那些“较小”的鞍,因 此,在研究关于极小算子的加权不等式时,很自然地要估计诸如(。了)一”,logm了 等算子的值.我们分两种情况分别加以讨论:单权情况下,我们分别刻画了Aco 权和A,权条件下关于奇,109。了等的强型加权不等式,并证明了关于软的极 小算子的强伽,川型加权不等式与对应的叽权性质之间的某些等价关系;在双 权情况下,我们刻画了关于极小算子的弱伽,川型加权不等式与叽,P权以及强 (p,句型加权不等式与岭p权之间的等价关系.我们还给出极小算子的混合加 权模不等式,即伽,的型不等式,但结论是平凡的,这与极大算子的情况完全不 同.最后还刻画叽,权的性质,特别是它与布,权的关系.在证明过程中,我 们还注意到叽,权形式上是一类特殊的布,权.仔细观察就可以发现,如果把 布,权中的指数p换为一p,那么叽,P二A一P’一p,VP0.这样以来我们就把 Ap,,权的包含关系推广到负指数的情况,使得布,权的结构更加完善. 在较空间理论中,我们知道反向H61der不等式的性质和因子分解定理是布 权理论的中心内容.鞍论中的因子分解定理刻画了今权理论中某些深刻结果. 第三章我们定义了几尽类,把常见的单权意义下的反向H6lder不等式推广到双 权情况,并借助于极小算子定义了RH山类,类比RH南权和Al权的性质,对这 两者的关系做了精细的描述,可以说RH山类的外延更广,在某些方面它的性质 更强,最后我们刻画了较空间中s1情形下的RHa类的结构,即对满足反向 H6kler不等式的权作了因子分解,把今权的因子分解定理推广到满足反向不等 式的权上去,这其中就利用了相关RH山权的性质和软论中的因子分解定理. 第四章我们首先定义了两个密切相关的算子一M0和嶙,并给出了M0二 嶙成立的充分条件.本章主要刻画了双权意义下关于几何极大算子的弱(p,川 型加权不等式与W山权以及强沙,功型加权不等式与不嗯权之间的等价关系; 单权情况下,结论更强.我们可以得到不吃权与几何极大算子的强伽,川型加权 不等式等价.特别地,在证明中新定义了一个算子—几何极小算子,最终利用 几何极大算子和极小算子序列的收敛关系以及前面所得的有关极小算


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