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对称马氏过程的末离时及其相关问题

李波  
【摘要】:在Markov过程的研究中,首中时与末离时具有特殊重要的意义。末离时是描述过程轨道行为的重要工具,用它可以直观地定义过程和集合的常返性和暂留性。和首中时一样,末离时在概率位势论中也有着很多重要的应用,是研究过程的位势特别是平衡势的重要工具。关于末离时的研究已有相当长的历史。国内外很多专家学者已经对一些特殊过程(如布朗运动、对称稳定过程、Lévy过程)的末离时、末离点进行了大量的研究,同时利用末离时作为工具刻画和研究其过程轨道的行为性质(如渐近行为、逃逸速度)的文章也有很多。特别地,关于布朗运动的结果已经比较丰富和完善。但是,前人的结果主要集中在具有独立增量性的Lévy过程上,一般的过程如果没有独立增量等特殊性质,将很难进行类似的研究。本文将对布朗运动的工作进行推广扩展,保持过程轨道的连续性,而放弃独立增量性,我们将研究一致椭圆扩散过程。一致椭圆扩散过程是一类特殊但非常重要并被广泛研究的扩散过程,它是最为接近布朗运动的一类扩散过程,它有着很多和布朗运动相似的性质,但它没有独立增量性,它是沟通布朗运动和一般扩散过程的纽带和桥梁,所以具有很高的理论研究价值。 本文还将通过末离时涉及到概率位势理论研究的内容。位势理论有着长久的发展历史,它的古典理论在19世纪中叶就已形成,它同物理有密切的联系,是研究电磁场的最基本数学工具之一。20世纪以来,在测度及拓扑的基础上形成的现代位势理论得到了进一步的发展,特别是同布朗运动的深刻联系使得位势理论的基本概念得到了明确的概率意义,于是概率的方法引进到位势论的研究中来,反过来,位势论的工具(分析的工具)也大大促进了概率论的发展,乃至形成了一个内容丰富,充满活力的新数学分支:概率位势论。我们将主要研究过程的平衡势问题,平衡势问题在位势理论中占有重要的地位,它是经典位势论中著名的三大问题之一(另两个为Dirichlet问题和Balayage问题)。事实上,平衡势与末离时有着密切的联系,钟开莱确定了马氏过程末离时分布与平衡测度的这种关系。我们知道经典位势论与布朗运动之间有着深刻联系,但一般过程位势理论的精细结果较少,我们将着眼于一致椭圆扩散过程位势理论中特有的具体结果。在本文中,我们将对位势理论中的两个基本概念一点的正则性和集合的常返暂留性进行一些研究工作。 本文的工作主要由四部分组成: 在第二章中,我们主要研究R~d(d≥3)上一致椭圆扩散过程(X_t)的末离时及其相关问题。首先,通过与布朗运动的比较,我们给出了集合关于一致椭圆扩散过程容度的一个估计,并得出结论:一致椭圆扩散过程(X_t)与布朗运动有相同的零容集。随后利用Blumenthal和Getoor[3]中第六章命题(4.3)的 结论估计了(x七)的平衡势.于是,利用末离时、容度和平衡势的密切联系, 我们由容度和平衡势两种不同的方法得到了一致椭圆扩散过程末离时的分布 估计,应用这个末离时的分布估计,我们得到Rd(d全3)上一致椭圆扩散过程 末离时k阶矩存在的充分必要条件是2(k+l)d.所以,当d=3或d二4 时,一致椭圆扩散过程(x。)是暂留的但不是强暂留;当d全5时,(xt)是强 暂留的.最后,还得到了一致椭圆扩散过程的极大游程分布的估计并由此得到 极大游程k阶矩存在的充分必要条件是k+2d.所有这些结果说明一致椭 圆扩散过程与布朗运动在很多方面上有相似的性质. 在第三章中,我们研究是一致椭圆扩散过程(x:)及其末离时LB的渐近 行为.第一节,我们利用已求出的末离时分布估计,用估计特定时段命中概率 的方法研究侧(d全a)上的一致椭圆扩散过程一(Xt)的”逃逸速度”(escape rates).我们得出,过程(xt)的粒子随着时间的推进(t一co)其离开起 点的距离趋向无穷的速度与空间维数d有关.我们在陈斌和邵启满[61工作的 基础上,证明了关于一致椭圆扩散过程的两个极限定理,推广了[0]的结果. 实际上给出了一致椭圆扩散过程趋向无穷的速度精确的速度,进而得到了一 个类似布朗运动的重对数律.同时,我们也给出了(x:)在0点附近的相应性 质.在第二节中,我们将对一致椭圆扩散过程(x。)的末离时LB自身的渐近 行为进行研究,并得到一个较为理想的结果: ‘f_、「co 7dt「=co hm SuP,产乍召寸=嘴_a.s.专=令了下下下了了、 ””co几一尹L”)tU才七沪L古少2一L又QV 、几 其中L侧司为球B(司关于一致椭圆扩散过程xt的末离时,诚约是定义在 [0,co)上正的非减函数. 在第四章中,我们研究了关于一致椭圆扩散过程(x七)点的正则性、集合 的暂留性及其相关间题.我们得到了一个简单实用充分条件一一锥判别法. 至于充要条件,我们结合容度估计推广了布朗运动的Wiener判别法.由此我 们得出结论:点正则性关于一致椭圆扩散过程和布朗运动是一致的,即$是 B关于一致椭圆扩散过程(x七)的正则点当且仅当二也是B关于布朗运动的 正则点.同时利用此判别法我们还判断了一类特殊集合一一刺集的顶点的正 则性.在第四章的后半部分,我们还得到了集合特别是无界集关于一致椭圆扩 散过程(x七)暂留的判别准则


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