双曲方程组与双曲—抛物方程组解的大时间状态估计

【摘要】：在客观世界的发展过程中，不同物理量的变化将会有相互的制约或者促进作用，偏微分方程可以用来反映这种相互关系。对微分方程的研究可以更好的认知物理现象和自然界的客观规律，更好地指导生产和实践，因此对偏微分方程的研究一直是人们关心和研究的问题。 对于发展方程，如果方程的光滑解整体存在，就可以考虑方程解的大时间渐进行为，也就是解在充分大时间时的发展趋势。本文分别研究了一维拟线性双曲方程组与多维双曲-抛物方程组解的大时间状态行为。一维拟线性双曲系统反应了理想模型中空气动力学、浅水波理论、燃烧理论、非线性弹性碰撞力学、经典流体力学系统以及石油储存工程等物理和应用领域中相关物理量变化之间的相互制约关系。这些双曲方程组的经典解可以刻画流体系统或者连续系统中波的传播，对方程经典解的大时间状态估计能进一步了解方程的性质。如果考虑流体之间的粘性作用，那么描述物理量变化的系统就变成双曲-抛物耦合的方程组。其中最典型的是Navier-Stokes方程，它描叙了声学、浅水波理论等物理学方面一些物理量比仿质量、动量、能量的变化规律，并且这个方程在水利工程等方面也有广泛的应用，对这些微分方程的研究，在数学理论上和实际应用中都有非常重要的意义。 由于物理方程都是在实际中经过抽象和提炼出来的关系，所以方程组解的性态必须与物理现象相符合，只有能够体现物理运动发展规律的方程才是有实际价值的。一方面，双曲方程组的解反映着扰动的传播即波的运动特性。另一方面，波是以有限速度传播并且受惠更斯原理的影响。对于上面的两类方程，对方程组解的大时间状态估计，我们也期望得到的结果与这些物理现象相一致。 Green函数的方法被广泛地运用于研究方程(组)解的逐点估计，特别的，如果方程的光滑解整体存在，用这一方法可以得到关于解的最佳估计结果。本文就是利用Green函数的方法，分别讨论了一维拟线性双曲方程组解的逐点估计和偶数维可压缩等熵Navier-Stokes方程解的大时间状态估计。 对于一维空间一阶拟线性双曲方程组，其经典解的适定性理论已经研究的相当完善。由于方程组经典解具有局部适定性，往往利用特征线的方法讨论关于经典解适当范数的先验估计，从而得到经典解的有界性。我们知道拟线性双曲方程解的正则性会随着初始值及系数矩阵而提高，因此可以进一步讨论方程组解的高阶导数。拟线性双曲方程经典解的存在性与方程组的非线性性质密切相关。对于具有紧支集小初值的Cauchy问题，如果方程组满足线性退 化或者弱线性退化条件，其经典解整体存在.如果不满足这样的条件，其经典 解会在有限时间内爆破.因此要讨论解的大时间状态，所讨论的方程首先必须 满足(弱)线性退化条件. 对于偶数维空间Navier一Stokes方程，利用能量估计以及Fourie:分析的方 法，可以证明方程在非真空常状态附近的扰动问题存在性结论是清晰的.在大 于1的奇数维空间，解的大时间状态估计已经有了相应的结果，而且状态估 计所描述的结果与惠更斯原理相一致，对偶数维空间，由于惠更斯原理的影 响，波在传播的过程中，只有明显的波前，没有明显的波后，扰动具有长时间 的影响，所以对解的大时间渐进行为的研究有很大困难. 下面简单介绍本文的结构: 第一章，我们首先讨论了拟线性双曲方程组以及双曲一抛物方程与守恒 律方程之间的关系，以及在微分方程研究过程中人们所关心的问题.其次，我 们回顾了关于这两类方程的一些研究历史和现状，并且指出了运用Green函 数讨论方程组解的大时间状态估计的具体思路.最后，综合叙述了本文的主要 内容. 第二章，我们详细讨论了拟线性双曲方程组Cauchy间题经典解的逐点估 计问题，此时方程组满足弱线性退化条件和适配性条件，初始值在无穷远具 有适当的衰减，对于这样的方程，提高方程系数以及初始值的正则性，可以得 到关于方程组解的高阶导数相应估计.再利用这些估计来讨论经典解〔解的。 阶和1阶导数)的逐点估计.本章第一节，我们主要推导了波的分解公式，提 出了弱线性退化、适配性条件和正规化坐标系的概念，并且给出了在正规化坐 标系下一些关系式.第二节我们给出了本章的主要定理，包括解的存在性和解 的逐点估计结果.第三节，我们给出了相关范数.第四节，通过对这些范数的 讨论，得到方程组解及其高阶导数的一致先验估计，第五节分成两个部分，第 一部分证明了一些引理，这些引理对逐点估计的证明很重要，第二部分我们 讨论了解的逐点估计问题，得到方程组的经典解在整个时空空间(:全0)的精 确估计，特别的，在传统方法难以估计的各条特征线附近，我们也给出了解的 衰减估计. 第三章我们考虑了满足弱线性退化的齐次拟线性双曲方程组具有慢性衰 减的初始值cauchy问题经典解的存在区间估计，包括一般双曲方程但初始值 一阶导数衰减较快和角型方程组初始值衰减比较慢的情形，我们得到了关于 经典解存在区间的最佳估计.本章第一节，我们直接给出所要证明的结论，第 二节讨论了一般双曲系统经典解才存在区间，第三节讨论了对角型拟线性双 曲方程组经典解的存在区间.因为