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凸多面体的边数及体积与整点个数

杨宣  
【摘要】:多胞形[58]的概念有着直观的几何形象,在三维空间中即为(有界)多面体,在二维空间中即为(凸)多边形。研究它可以从不同的角度出发,从而可用不同的不变量来刻划它。典型的量有:若研究其组合(拓扑)性质,则可讨论其各维边(点、棱、面分别是低维的边)的个数及各维边个数之间的(约束)关系[41],据此可对多胞形进行分类。如研究其几何(度量)性质,则可讨论其体积。另外,与之相关的一个量是其所含的整坐标点(简称整点)的个数[5][33],它是与体积对应的离散量(体积的离散化)。因为实空间R~n中任一个非单点凸子集的基数都是(?)(即与R等势),故无法用元素个数这个量来比较凸子集的大小,于是就用一离散空间(如Z~n或N~n)来代替R~n,也即用其所含整点个数来代替元素个数。 还有一些更深刻的量,它们不再是数,而是比数要复杂得多的代数结构。如本文将要用到的边代数便是一个例子。这类不变量有一个相对于前一类不变量的优点就是,它不仅把对象对应于对象,而且还捎带着把态射对应成态射。 这些反映和刻划多胞形某个侧面的性质的量构成了本文的对象。 反过来,我们也可将某个代数对象(如一个矩阵)对应一个几何对象[43][44],如一个多胞形或一个凸锥[9]。 与多胞形关系最近的概念莫过于单纯复形。二者的关系可以粗略地、近似地描述为,单纯复形和多胞形分别描述了同一对象的两个侧面:组合侧面和几何侧面。人们经常是把对多胞形的研究转化成对单纯复形的研究。本文也不例外地采用这一观点,即从单纯复形入手。原因是单纯复形撇去了多胞形的几何形象,而保留了其本质,即点、棱、面等各维边间的组合关系。 本文由具有共同主题但又彼此相对独立的两大部分组成。第一部分的主题是凸集间的代数运算以及全序体上向量空间中凸体全体组成的代数结构。第二部分是本文的主要部分,它的主题是凸体中最重要的一类——多胞形。这部分又分为两个专题,分别是多胞形的边数和多胞形的体积与整点个数。 在第一章引言之后,作者在第二章中引进了全序体上的向量空间中的凸性概 念(由于对这样的凸集的研究并不总能归结为对实空间中凸集的研究(例如,实 数体R看作其自身上的向量空间时与看作有理数体Q上的向量空间时,其中的凸 集有着很不同的形状),所以这种提法是有意义的,而不是简单的形式推广。), 并得出了凸不等式的一般形式,由该一般形式可得到各种(离散形式和积分形 式的)凸不等式,它包含了(刻划各种平均数之间关系的)Minkowski不等式和 Hoelder不等式[6」作为特例;并为此引进了积分的(代数形式的)一个定义,它 包括了各种经典的积分(如形emann积分,Lesbegue积分)作为特例。 第三章以全体凸体集合的代数结构为对象。一个向量空间的全体凸子集的集 合中,可定义(Minkowski)加法,但该加法的逆运算,凸集之间的减法,在该 集合中不封闭。为此,我们将该集扩张为两凸集之差的集合,方法与由自然数 半群N做整数群Z以及由整环做分式体的方法一样.即在凸集对之间定义一个 等价关系,两凸集之差定义为凸集序对所在的等价类,从而得到了差集。原集 合可嵌入到其差集中。之后,Minkowskl标量乘法可自然地延拓到差集上,从而 使该差集具有一个很接近向量空间的代数结构。具体地说,它组成一个带群结 构的拟向量空间。接着,引进了该空间中的线性组合、线性相关、基、它所对 应的向量空间的概念,并证明了该对应的函子性。本章推广了Raadstroem的一 个关于凸体嵌入到赋范空间的定理【33]。最后,讨论了支持函数的差与拟向量空 间的关系。 第四章介绍了多胞形的基础知识(它是后两章的准备)并运用边数,整点个 数和混和体积的计算公式计算了几个具体例子。另外,本章还捎带介绍了与多 胞形相关的概念—多棱锥[9』,并给出了作者得到的关于有理多棱锥的对偶锥 的几个结果,由这些结果可由一多棱锥的某性质得到其对偶锥也具有相应性质。 第五章讨论多胞形各维边数的上界。该问题已用组合的方法得到解决 【411[45][461。作者的工作是,为了将多胞形和单纯复形问题转化成代数问题(由 于代数对象比拓扑对象容易架驭得多,所以这种想法很自然,而不是故弄玄虚), 引进了边代数函子,将每个单纯复形对应一个环,通过对这个环的研究回过头 来刻化单纯复形的性质,并将这些结果用于多胞形,得到了多胞形各维边数的 一个上界并给出了证明Euler公式的一个拓扑方法。 作者在第六章引进了一类特殊的多胞形,它是由一个rxn矩阵。和r维向 量a得到的n维空间中的一个多胞形,并运用计算多胞形体积和整点个数的一般 公式(Baldoni一Ver助e公式)[5][71[331[53][54]于当中=A二时的特殊情况,得到 II 了该公式关于这类多胞形的一个迭代形式。


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