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半参数模型的估计方法及其应用

胡宏昌  
【摘要】:随着测绘科学技术的发展,测绘科学本身及其它相关科学都对现代测量数据处理提出了更高的要求,而现有的数据处理理论已经无法解决在测量实践中遇到的一些新问题,限制和束缚了测绘技术的发展与应用。因此必须进一步研究、改进数据处理理论,并提出和发展新的理论与方法。 在测量数据处理中,人们常常采用参数模型,是因为其结构简单、易于处理,而且在火多数情形下(如常规大地测量的各种静态问题),由于大部分系统误差可在数据处理前补偿、消除或在参数模型中表达,故所建立的参数模型与客观实际是比较一致的,能满足实际需要。但在有些情形下(如大地测量的一些动态问题),观测值中存在既不能消除又无法参数化的系统误差,从而导致了参数模型与客观实际存在不可忽视的偏差。 另一方面,系统误差总是作为有害成分设法予以消除或补偿,这并不一定是很科学的处理方法。实际上,系统误差中含有影响观测值的各种因素的信息,如能正确的识别、提取,则不仅能够提高参数估计精度,而且能为其它学科的研究提供资料。 另外,如果影响观测值的因素可分为两个部分:主要部分是线性关系,另一部分是某种干扰因素,它同观测量的关系是完全未知的,也没有理由将其归入误差项。此时,如用非参数模型(尽管它有较大的适应性)加以处理,则会失去太多的信息,如采用线性模型加以处理,则拟合效果很差。 鉴于以上问题,需要考虑其它的数据处理模型——半参数模型 l_i=A_i~TX+s(t_i)+△_i (i=1,2,…,n),它是八十年代发展起来的一种重要的统计模型。由于它既含有参数分量(描述了观测量中函数关系已知的成分),又含有非参数分量(专门表示函数关系未知的模型偏差),可以概括和描述众多实际问题,更接近于真实,因而引起广泛重视,其研究日益成熟。 一般来说,测量数据处理问题最终归结为参数或非参数估计问题。迄今为止,对半参数模型的研究已存在大量的估计方法,如:早期将非参数分量参数化的思想;两步估计,包括近邻估计、权估计、核估计、小波估计等;两阶段估计;抗差或稳健估计;补偿最小二乘估计法等等。但在数学等理论领域,其研究几乎是理论估计及其大样本性质,很难将它们转化为应用;而在测绘等应用领域,对半参数模型的研究大多数结果存在理论研究不透彻及方法单一等不足。笔者试图在二者之间建起一座桥梁,以便弥补二者的不足。 本论文将结合数学界的理论研究工作与测绘界的实际需要,系统地研究了半参数模型的各种估计方法(补偿最小二乘法、小波估计法、泛最小二乘法、累积法、稳健估计法、迭代法、两阶段估计法等等)及其在测量数据处理中的应用。具体地说,主要研究了如下内容: 在第二章里,阐明了半参数模型的补偿最小二乘估计方法,基于使最小二乘极值问题可以求解及对非参数估计曲线起平滑作用的原因,而提出的补偿最小二乘准则为 V~TPV+aS~TRS=min在该准则下,得到了参数、非参数分量的估计值及观测值改正值的表达式,并用三次样条函数插值法得到了非参数分量的推估表达式。研究了估计量的有偏性、分布、误差大小等统计特性。较为系统地讨论了平滑因子a及正规矩阵R的选取。通过模拟的算例及坐标变换、GPS定位、重力测量等实际应用,说明了该法的成功性及实用性。并从理论上,将流行的自然样条估计方法归结为补偿最小二乘方法,从而把前者作为后者的特例来研究。 在第三章里,以小波估计为例研究两步估计。两步估计的思想是:先基于假设参数已知,


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