多项式Poincaré方程的定性分析和一类生态方程周期解的存在性

【摘要】：本文研究了四次多项式Poincaré方程的中心焦点区分问题,三次和四次多项式Poincaré方程的中心焦点型奇点的Hopf分岔问题,以及一类具有周期系数的二维生物模型的周期解的存在性问题。全文共分四章。 第一章是引论,介绍了常微分方程定性理论中与本文相关的研究及进展,并简要介绍本文的主要工作。 第二章利用计算焦点量的一种线性递推公式,解决了两类四次多项式Poincaré方程的中心焦点的判定问题,确定了其细焦点最高阶数。通过计算全系数四次多项式Poincaré方程的焦点量,提出了各系数间的一个限制条件,在该条件下该系统以原点为7阶细焦点,进而猜想全系数四次多项式Poincaré方程细焦点的最高阶数是8。这一猜想的严格证明或许是一个有待长期研究的课题。 第三章研究了三次和四次多项式Poincaré方程的中心焦点型奇点在小扰动下的Hopf分岔问题,将此问题与Pugh问题相联系和比较。对三次Poincaré方程,借用Pugh问题的一个已知结果,讨论了极限环的唯一性和唯二性问题。对四次Poincaré方程,在第二章研究基础上给出了有6个小振幅极限环的例。这可与Smale所介绍的Nirenberg例相比较。 第四章讨论了具有开发项和周期系数的三个二维捕食-食饵模型,利用Mawhin拓扑度延拓定理,对这三个模型分别给出了至少有一个,二个和四个周期解的条件。利用拓扑度定理导出多个周期解的存在性,这在同类研究中似乎是不多见的。