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随机偏微分方程在大地边值问题中的应用

邓波  
【摘要】:地球重力学不仅是地球物理学的一个重要分支,而且是大地测量学的主要支柱之一。它的基本科学任务是研究如何利用观测数据来确定地球形状、大小和外部重力场。这一科学任务用数学语言来表达就是求解一类经典位势偏微分方程的定解问题,这类问题的定解条件是在待求的地球表面上通过重力、天文和水准等测量手段得到的边值条件,人们称这类具有自由边界面的位势方程外部问题为大地测量边值问题,简称大地边值问题。作为地球重力学的研究主题,大地边值问题的研究,从地球重力学1849年由Stokes定理奠基开始,贯穿着学科发展的全过程,至今已经经历了Stokes理论、Molodensky理论、Bjerhammar理论三个里程碑,取得了举世瞩目的成果。但是,在上世纪80年代以前,这一研究基本上是属于Laplace确定性论意义的范畴。近年来,由于高新观测技术的长足进步,含重力场信息的各类高精度数据的不断获得,学科自身的发展和工程使用的需要,迫使人们去研究与当前精度相应的重力场精细建模理论与方法。一种沿非传统方向的开拓性工作,就是在上世纪90年代有Sanso等人倡议的,即从不确定性论的观点,由现代随机数学理论出发来研究地球重力学主题;将重力场看成广义随机函数一随机过程,提出所谓随机大地边值问题,并研究问题解的性质和解法。 本文研究的核心内容是:利用随机偏微分方程理论和方法研究大地测量边值问题,完成调和重力场的随机建模。 通过研究,本文给出如下主要的工作与结论,包括下面几点 首先以比较广阔的视角回顾评述了大地边值问题理论的最新进展,主要包括Stokes问题、Molodensky问题、Hotine问题及Bjerhammar问题等,探讨了现代大地边值问题某些深刻的数学内涵和问题所在,并指出了随机偏微分方程应用于大地测量学的研究目前尚未得到重视的原因。 其次推演和给出了建立随机Laplace方程的数学方法并用于求解大地测量边值问题。利用随机场理论、随机偏微分方程理论中的随机Laplace算子方程理论,并结合重力学的场论知识,来解决研究目标和研究内容中的主要关键问题;引入广义函数,结合随机数学知识,实现了Sobolev空间的随机化过程。同时在随机化了的广义函数空间上,特别是在随机化Sobolev空间中对随机边值问题的解的空间属性进行阐述。 讨论了随机偏微分方程理论用于大地边值问题的关键问题。既然广义函数在孤立点处没什么特别的意义,加之在随机Sobolev空间中求解偏微分方程,首先必须把古典导数的概念推广到弱导数(或强导数),通常还要求弱解在边界或部分边界上的前几阶导数值是给定的(经典重力梯度边值问题要求取得边界或部分边界的二阶导数),那么该广义随机函数在边界上的取值,其确切含义必须详细说明。本文将对边界Γ给出明确的解释并且对广义随机函数在边界上取值的含义予以说明,给出随机Sobolev空间的边界迹的定义。


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