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演化优化及其在微分方程反问题中的应用

吴志健  
【摘要】: 本文由两部分组成,第一部分是演化算法的设计与分析,并将所设计的算法应用于各种优化问题,反映出了算法的优良性。第二部分是演化算法在数学物理反问题的应用——微分方程的参数识别。本文的主要研究工作如下: (1)综述了国内外演化计算的历史与发展动态、应用前景、基本特征及设计演化算法所应遵循的基本步骤。演化计算是基于自然界生物演化的群体导向随机搜索技术与方法,群体在搜索过程中采用达尔文“适者生存”的思想。由于它的稳健性、通用性等优点和自组织、自适应、自学习等智能特征,已广泛应用于如机器学习、过程控制、经济预测、工程优化等众多领域。另外,演化计算的种群组织搜索的方式使得它特别适合于大规模并行,推动了并行计算机和并行算法的发展。 (2)设计了求解数值优化问题的多父体精英演化算子及相应的精英演化算法。对数值优化问题进行了概述,并对求解优化问题的方法进行了分类与分析,指出了传统数值方法在求解优化问题中所存在的不足。阐述了演化算法在求解优化问题中的优势,并叙述了在设计此类演化算法时一些要重点解决的问题(主要叙述了约束处理技术和编码策略)。构造了求解数值优化问题的精英演化算法。优化理论及方法是一个古老而又充满生命力的研究领域,从上世纪三四十年代开始,由于军事、航天、经济等方面的迫切需要,使它得到了蓬勃的发展,应用领域不断扩大,在系统工程、控制工程、统计学和反问题求解等领域中,众多问题最终都归结为优化问题。对于这类问题,长期以来基于迭代原理的各种数值方法,如牛顿法、单纯形法、共轭梯度法、同伦法、最速下降法和罚函数法等等得到了广泛的应用。然而,这些传统的优化方法存在着一些缺点,比如:对目标函数有较强的限制性要求、算法的结果强烈依赖于初始值的选择、算法容易陷入局部极小、算法缺乏简单性和通用性和对约束问题较难处理等。演化算法作为现代最优化的手段,实践证明,它应用于大规模、多峰多态函数、含离散变量等情况下的全局优化问题取得了很好的效果,在求解速度和质量上远超过常规方法,因而是一高速近似算法。近年来,演化计算在优化领域所取得的成功引起了人们的普遍关注。本文正是在这些成功的基础上来进一步发展演化计算,设计了多父体精英演化算子及相应的精英演化算法。在执行选择操作时通过强制选择精英个体参加杂交运算来改善算法的收敛性能。算法具有较强的鲁棒性和普适性。 (3)通过具体求解一些典型的问题表明了本文算法的优越性。对于单峰函数优化问题,精英策略所带来的收敛速度的改善非常显著。对于精英演化算法中参数设置对算法性能的影响进行了分析与实验。对于多峰函数优化问题,构造了两阶段的全局-局部精英演化算法,演化分两个阶段进行,在演化的第一个阶段即全局演化阶段,演化在整个搜索区域上进行。在这个阶段,为了保持群体的多样性,我们采用非精英演化算法。全局演化后,选择若干不同的个体而形成若干个相应的小邻域。在演化的第二个阶段即局部演化阶段,在各个小邻域中应用精英演化算法,最后通过合并与排除相同的个体而获得问题的多个解。实验结果表明算法能在一次或几次运行中找到问题的所有全局最优解。在全局-局部精英演化算法的基础上,利用区域分裂法的思想,构造了区域分裂全局-局部精英演化算法。算法的主要思想是将问题进行空间上的分裂,即将整个搜索空间分裂为一些子区域,然后在各个子区域中应用前面的全局-局部精英演化算法。此算法既有利于并行化,又有利于限制搜索的盲目性,即使将该算法在串行机上执行也表现出其优越的性能(包括算法的收敛速度、解的精度与搜索多个全局最优解等)。对于非线性方程组的求解问题,我们通过将其转化为相应的优化问题进而用本 (4)文的精英演化算法来求解,取得了非常好的效果,通常能在极短的时间内获得方程的解。对于含有多个解的非线性方程组,我们还通过把其转化成一个多峰函数优化问题而使用全局-局部精英演化算法,实验结果表明我们能在一次运行中发现问题的全部解。 (5)将精英演化策略融合于求解反问题的算法中,提出了一种求解微分方程反问题的演化算法,这也是本文重点要研究的应用领域。自然科学中的反问题在某种意义上(在现代信息科学领域)可作为Data Mining或KDD的代名词。反问题广泛出现于工业及工程应用中,例如,地震勘探、地下水质研究、材料内部裂纹的确定等。反问题是从各个领域、各个学科的实际需求中提出来的,是一门高度交叉性的学科,也一直是国内外的一个研究热点。由于反问题的不适定性,特别是解对实验与观测数据的依赖关系高度不稳定,即观测与实验得到的数据细微的误差可能引起反问题的解产生巨大的偏差,使得反问题的数值求解过程极不稳定。这使得反问题的研究不论是在理论分析还是在数值计算上都存在很大的困难。这也是为什么反问题的求解长期以来一直是计算科学界、工程界及工业应用界所周知的极富挑战性的研究难题。在反问题的理论及数值计算方面,国内外的科学家做了大量的工作,提出了不少经典的数学和物理方法,但这些传统的方法都有其一定的缺陷或局限性。为了保证解的可靠性和稳定性,正则化方法经常被采用,而正则化方法的效果强烈依赖于好的正则化参数的选取,对于正则化参数的选取研究者们构造了许多的方法,但这些方法多数难以在实际应用中得以实现。因此,突破传统的方法,寻求解决反问题的新途径是一个十分迫切的研究课题。而演化计算正是具有极大的潜在应用价值的求解反问题的新颖思想和途径。近年来有一些将演化计算应用于求解反问题的研究,但这些算法要么对问题有较强的约束,要么没有对观测数据中存在的噪声加以考虑。本文结合演化计算与传统求解反问题的正则化方法,提出了一种求解微分方程反问题的演化算法。对于微分方程中的参数识别问题,通过构造独特的适应值函数与演化算子,设计了参数反演的演化算法,并在同类研究中首次将测量值的噪声加以考虑。通过对椭圆型和抛物型方程参数识别问题的数值实验,表明算法对于这类问题非常有效。算法具有较强的抗噪性,在无噪声或噪声很小时,识别出的参数值几乎与原值一样,当噪声强度达到10%时,我们仍得到了令人满意的结果,而这在使用传统方法时是不可能达到的。本文的研究成果也为我们进一步研究其它类型的反问题打下了较好的基础。 (6)最后,对本文的研究工作进行了总结,并对未来的研究提出了展望。


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