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Cauchy问题形式解的可和性及Mordell型积分函数的研究

周爽  
【摘要】: 对于常微分方程或是偏微分方程的形式解,我们可以通过不同的求和过程得到不同的和。这种现象也常常出现在函数方程中,例如差分方程或是q-差分方程。在本文中,我们就来考虑一个具有奇异初始条件:的热传导方程。本论文的目的一是给出这个Cauchy问题的形式解的三种和,即由文献[26]中的已有结论引出的Borel和、以及分别由热核和Jacobi theta函数引出的q-Borel和(请参考文献[50]和[42,51]),二是建立这三种和之间的联系。具体地说,本论文的内容可分为以下六个章节。 在第一章中,我们介绍了一些关于形式解的可和性的已有结果,以及本文所研究的问题和得到的主要结论,并回顾了如何求解定义在实空间上的热传导方程的Cauchy问题,以及实空间上热核的推导。 在第二章中,我们介绍了经典的Borel-Laplace求和方法。关于复空间上热传导方程的发散的形式解,由Lutz, Miyake和Schafke(请参考文献[26])给出了相应的精细Borel和。由此,我们得到了本文所考虑的Cauchy问题形式解的精细Borel和。 在第三章中,我们介绍了所谓的Gq-求和方法(请参考文献[50])。随后,通过变量代换,我们将本文所考虑的Cauchy问题的形式幂级数解转化为一个q-级数。这样,我们得到一类由热核引出的q-Borel和,并将它与上一章得到的和函数进行比较。 在第四章中,我们首先证明了Jacobi theta函数的一些性质,并介绍了由Jacobi theta函数引出的一种求和方法(请参考文献[51]),接着得到了所考虑的q-级数的另一类q-Borel和。 在第五章中,我们研究了一类已被Riemann, Kronecker, Lerch, Hardy, Ramanujan, Mordell和其他许多数学家考虑过的积分函数。我们说,由本文得到的一个主要定理可推出Mordell的定理(请参考文献[34,35]),并且我们的这种思想方法可以应用于处理更一般的积分函数。 在第六章中,我们对论文作出归纳总结并给出了一些还未解决的相关问题。


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