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无界延迟随机微分方程的渐近性质

孟雪井  
【摘要】:本文研究无界延迟的随机微分方程的渐近性质,包括整体解的存在唯一性、解的矩估计与轨道估计、稳定性及增长下限等.贯穿全文的主要思想是Lyapunov函数思想,引入具有丰富内涵的Ψ类函数作为参照函数,借助于半鞅收敛定理、指数鞅不等式、Razumikhin方法等工具,得到了方程整体解的存在唯一性、矩有界、时间平均矩有界、轨道有界、轨道增长上限、p阶矩ψ-稳定、a.s.轨道ψ-稳定、p阶矩增长下限及轨道增长下限等结果. 整体解的存在是研究方程解的渐近性质的前提.无需线性增长条件的限制,本文给出了方程在Rn与Rxn中整体解存在唯一性的一般条件.在研究解的渐近性质时所附加的条件同时保证了整体解的存在唯一性,这是本文的一个主要特点之一 利用半鞅收敛定理,本文研究了解的有界性问题.通过选取适当的Lyapunov函数V(x),建立LV(t,x,y)的增长控制条件,得到方程整体解的存在唯一性及其矩有界、时间平均矩有界及轨道有界结果.对方程系数f与g施加多项式增长条件,进一步具体化控制LV(t,x,y)增长的一般性条件,得到主要结果. 利用指数鞅不等式与Borel-Cantelli引理,本文研究了轨道增长问题,在方程系数满足多项式增长的条件下,得到方程的整体解至多以某种速率增长的结果.该结果同时保证了整体解的存在唯一性. 稳定性是动力系统理论的中心课题,本文分别采用半鞅收敛定理与Razumikhin方法两种工具研究方程的稳定性,得到p阶矩ψ-稳定与a.s.轨道ψ-稳定的结果.程序上均采用“两阶段模式”:首先,建立一般性定理;其次,对方程系数施加多项式增长条件,具体化一般性条件得到主要结果.本文所建立的Razumikhin定理同时得到了矩稳定与几乎必然轨道稳定的条件. 最后,本文讨论了增长下限问题.分别采用Razumikhin方法与指数鞅不等式方法给出方程整体解的p阶矩的某种增长率下限及轨道增长率下限.建立一个“反向”的Razumikhin定理,并详细讨论了线性系统的增长下限问题. 本文的研究方法同时适用于有界延迟与无界延迟两种情况.当延迟无界时,引入衰减因子ψ-ε(δ(t))来抑制系统的无限制的记忆功能.当延迟有界时,可删去衰减因子ψ-ε(δ(t)),所得结果不受影响.无需线性增长条件的限制,在方程系数满足多项式增长的前提下,同时得到方程整体解的存在唯一性及其渐近性质,极大地拓广了方程的适用范围.本文多处借助于M-矩阵工具,尽可能地发挥M-矩阵技巧,使所得结果形式更简单、应用更方便.本文引入Ψ类函数作为一般的参照函数,考察方程整体解的增长与衰减速率,它包含了已有文献中常见的指数函数与多项式函数,使结果更丰富.


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