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大规模声学问题的快速多极边界元方法研究

李善德  
【摘要】:边界元方法是一种有效的数值计算方法,它伴随着有限元方法发展起来。由于具有只在边界离散、计算精度高、适合处理无限域问题等优点,边界元方法被广泛用于声学问题研究。然而,边界元方法形成的线性系统方程组的系数矩阵通常是稠密、非对称满阵,使用常规的求解方法将消耗高昂的计算机资源,所以传统的边界元方法只适合分析中小规模的声学问题,无法求解大规模问题。计算能力成为制约边界元方法在大规模工程领域发展与应用的瓶颈。因此,发展一种新型的快速边界元方法求解大规模声学问题至关重要。本文主要是对快速多极方法和边界元方法进行深入研究,提出一种新型的快速多极边界元方法有效求解大规模声学问题。 针对传统边界元方法求解外部Helmholtz方程时存在的非唯一解问题,提出了采用Burton-Miller公式解决这个问题。对于Burton-Miller公式引入的超奇异及强奇异积分困难,利用新的奇异性减少技术及Laplace方程相关性质,推导了只包含完全弱奇异积分的Burton-Miller公式改进形式。此外,提出了一种简单有效的块对角预处理技术改善线性系统方程组的性态,加速求解的迭代收敛效率。数值结果证明了改进的边界元方法求解声学问题的准确性和有效性,同时也揭示出传统边界元方法的计算效率为O(N2)量级(N为问题的自由度数),不适合求解大规模声学问题。 基于改进的Burton-Miller公式,提出了一种新型的快速多极边界元方法求解大规模二维(2D)声学问题。利用多极扩展理论,推导了快速多极边界元方法的计算公式及数值程序处理流程。此外,根据树结构叶子结点的特点,提出了一种有效的稀疏近似求逆预处理技术全面提高快速多极边界元方法的迭代求解效率,并从理论上证明了新算法各求解步骤具有O(N)量级的计算复杂性。数值算例验证了快速多极边界元方法求解2D声学问题的准确性和有效性,进一步的数值测试表明新算法具有O(N)量级的计算效率,比传统边界元方法的计算效率有数量级的提高。包含24万个自由度的多体声散射算例有效证明了快速多极边界元方法可以在个人计算机上快速求解大规模2D声学问题,成功克服了传统边界元方法不能求解大规模声学问题的技术瓶颈,并且表现出潜在的工程应用价值。 将2D问题延伸到3D(三维)问题,基于改进的Burton-Miller公式,提出了一种新型的宽频快速多极边界元方法求解大规模全空间声学问题。分别利用分波扩展方法及平面波扩展方法,推导了快速多极边界元方法的低、高频问题计算公式,并提出一种可自适应实现求解低、高频问题的宽频无缝连接形式。此外,根据现有的经验方法,提出了适合宽频计算的截断项数确定公式。包含52万个自由度的数值算例验证了快速多极边界元方法求解3D大规模声学问题的准确性、有效性及工程适用性。 进一步将全空间问题延伸到半空间问题。基于3D全空间算法,提出了一种新型的快速多极边界元方法求解大规模半空间声学问题。利用半空间Green函数,推导了半空间快速多极边界元方法的计算公式。新的半空间算法只需要在实域建立树结构,而不需要建立包含实域和影像域的更大的树结构,这明显减少了新算法的计算时间和存储量要求。数值结果验证了半空间快速多极边界元方法求解大规模半空间声学问题的准确性、有效性,建筑物及声障分析的算例表明新算法可以处理大规模工程声学问题。 本文对声学快速多极边界元方法的基础理论及应用进行了深入的研究,结果表明发展的方法能够有效求解大规模声学问题,具有重要的学术研究价值及广阔的工程应用前景。


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