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精确Diophantine逼近集、Oppenheim展式及相关问题

张振亮  
【摘要】:这篇论文主要研究形式级数域上的精确丢番图逼近集,讨论了在误差函数无单调性的条件下的精确丢番图逼近集是否非空的问题,并在单调性的条件下证明了相关的维数方面的结果,另外讨论了Luroth展式的逼近效率问题以及Oppenheim连分数展式中的若干例外集。包括第一章绪论与概述与第二章预备知识在内,本文一共有五章内容。 设函数ψ:R0→R0满足ψ(x)=o(x-2),实数中可以被有理数砂阶逼近,但对任意的0c1都不能被cψ阶逼近的点组成的集合我们记为Exact(ψ),称为精确逼近集。目前,集合Exact(ψ)是否非空还没有结果,但是当ψ是非增的时候,集合Exact(ψ)的Hausdorff维数是2/λ,其中λ是函数的1/ψ的下无穷指数。在本文第三章,我们在形式级数域上讨论了精确逼近集,我们证明了它是非空的,并且是一个不可数无穷集合。当误差函数是非增的情况下,我们给出了类似于实数情况下的维数结果。另外,我们还给出了形式级数域刚好逼近到误差函数阶的点组成的集合的度量结果。 我们知道实数x的连分数展式中每一个逼近因子都是。:的最佳逼近,并且实数x可以被连分数中的逼近因子很好逼近,而对于Luroth展式,这样的情况就大不一样。在本文的第四章,我们讨论了Luroth展式中的逼近因子有无穷多个是最佳逼近的实数组成的集合,我们证明了这样的集合是一个零测集合,这也意味着几乎所有的点都不可被Luroth展式中的逼近因子很好逼近,我们讨论了可被Luroth展式中的逼近因子很好逼近的点组成的集合的Hausdorff维数。 众所周知,Oppenheim连分数展式涵盖了正规连分数展式、Engel连分数展式、Sylvcster连分数展式。在本文的第五章,我们讨论了Engel连分数中与Sylvester连分数展式中部分商以某种速度增长的集合以及Engel连分数展式收敛速度较快的点组成的集合,另外,我们还讨论了具有相同的Engel连分数与Sylvester连分数展式的点组成的集合。


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