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具有一般衰减率的随机系统的动力学行为分析

宋银芳  
【摘要】:随机现象是自然界中普遍存在的一种自然现象。对某些系统,其精度要求不高,且随机因素对系统的动力学行为没有本质影响,此时,随机因素可以忽视,系统可简化为确定性数学模型。但是在社会经济与实际工程的许多问题中,随机因素对系统的性能会产生重要影响。而且随着科学技术的发展,工程技术对系统的精度要求日益提高。为了精确的描述这些实际系统,人们必须考虑随机因素。在确定性的系统中引入随机因素,就产生了随机系统。近期,随机系统的研究受到了人们的广泛关注,特别是1951年It6引入了随机积分,并给出了著名的It6公式,为随机微分系统理论奠定了基础。 随机系统的稳定性作为随机系统理论一个重要的内容也被广泛深入的研究,并取得了丰富成果。然而,在真实系统中,人们除了考虑系统的稳定性,更关心系统的收敛速率,指数收敛无疑是一种理想的收敛方式,但有许多系统并非指数收敛。在实际需求的推动下,一些学者提出了一般衰减率的矩稳定性和轨道几乎必然稳定性的概念,其涵盖指数收敛、多项式收敛、对数收敛等,是经典稳定性定义的推广,在实际中,它已成为衡量系统性能的一个重要指标,在理论上为研究系统提供了一个全新视角,特别当系统某种收敛率的稳定性失效时,可以考虑该系统其他合适的收敛率的稳定性。尽管一般衰减率的稳定性理论已取得较丰富的成果,但还需进一步完善和发展,在处理方法上也会出现困难。因此,一般衰减率稳定性理论研究具有重要的理论意义和现实价值。 本文从一般衰减率的角度,对几类机系统,即中立型随机系统、噪音干扰系统、随机神经网络系统的动力学行为进行了研究。对于中立型随机微分系统,首先在局部Lipschtz条件,压缩性条件和非线性增长条件下考虑了整体解的存在唯一性。然后利用Lyapunov函数法,并结合非负半鞅定理讨论了系统的渐近性质,获得了一般衰减率的p阶矩稳定,轨道几乎必然稳定性,矩有界与平均矩有界的一些充分条件,与已有的稳定性结果相比较,不仅适用范围更广,而且可以估计系统的收敛率。 针对Makov跳的随机中立型系统,首先给出了一般衰减率的吸引集,然后考察了稳定性与鲁棒性,推广了Makov跳的随机中立型系统的Lasalle型不变原理。 对于非自治的确定性系统,引入两独立的白噪音:多项式白噪音与线性白噪音。其中多项式白噪音可抑制爆炸解,保证系统全局解的存在性,矩有界性,随机最终有界性,并使系统解最多以多项式速度增长;而线性白噪音可使系统一般衰减率轨道稳定,并将结论延仲到一般情形。与已有的结果相比较,本文主要是将自治系统的噪音抑制与镇定问题推广到了非自治系统。 对非自治的随机的含混杂延迟的BAM神经网络系统,首先建立了两个引理,然后利用引理考察了带混合延迟的随机BAM神经网络的一般衰减率的矩稳定性,再结合一些随机技巧,如Chebishev不等式,Borel-Cantelli引理等考察了其一般衰减率的轨道稳定性,数值例子显示在保证矩稳定性的前提下,当衰减速率降低后,系统中可取得的合适参数范围更广。 对于离散的随机递归神经网络系统,首先推广了离散的Halanay型不等式,然后将其应用于离散的随机神经网络系统,得到了一般衰减率的均方稳定性,即均方μ-稳定性的条件,所考虑系统时滞既可以是有界,也可以是无界的。 最后对全文工作进行了总结,并指出了下一步的研究方向。本文为一些应用系统的研究提供了一个新的视角,并丰富和发展了一般衰减率的稳定性理论,数值仿真例子也说明了文中结论的正确性和方法的有效性。


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