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基于径向基配点型无网格方法的内部声学问题研究

王双  
【摘要】:内部声学问题的研究对具有腔体结构设备的声学性能设计具有重要的意义。作为求解内部声学问题的重要工具,有限元方法已成功地解决了很多工程声学问题。但是随着计算频率的增加,色散问题将导致有限元误差逐渐增大。无网格方法作为一种新兴的数值方法,克服了传统数值方法对网格的依赖性,具有特殊的性能。基于径向基的配点型无网格方法,具有精度高、编程简单等优点,且研究表明:相对于有限元方法,无网格方法求解声学问题时的色散要小很多,在求解更宽频带的内部声学问题上具有潜在的优势。本文将基于径向基配点型无网格方法引入到内部声学问题的求解中,主要展开了以下的研究工作: 改进了传统的基于径向基函数的配点型无网格方法。径向基函数(radial basis function, RBF)在散乱点插值中表现突出,将其引入到无网格方法中,可以形成高效的数值方法,其中基于径向基配点型无网格方法是其中典型的代表,该方法具有计算精度高、实施简单、不需要积分等优点,已成功地被应用于微分方程的求解中。传统的径向基配点方法可以分为全域型配点型和局部配点型,全域型配点方法精度高,但是对于大规模问题容易出现病态密集矩阵的问题,而局部配点型方法的精度比全域型略低。为了解决这些问题,本文提出了通过改变径向基函数中形状参数的方法来改善这两类方法。 研究了无网格求解内部声学问题时边界条件的处理方法。边界条件处理的好坏直接影响声学问题的求解精度,无网格方法在处理边界条件时有其特殊性。本文考虑无网格算法的特性,针对不同的声学边界条件,分别给出了不同的处理方法。对于Dirichlet边界条件,分别提出了变形参、增加边界配点数目,以及使用高阶附加多项式等方法来改善该类边界条件的误差。对于含有导数的边界条件,引入了Hermite径向基插值方法、虚点法等方法进行处理。针对阻抗边界条件,将结构中的模型修正技术引入到阻抗边界条件的建立中。 研究了数值方法求解内部声学问题时的误差构成,提出了衡量色散问题的标准,并证明了无网格方法在求解内部声学问题中的优势。从理论上分析了有限元方法求声学问题时误差构成,当频率增加时,色散是造成其误差的主要原因。提出了色散问题的衡量标准,研究表明,无网格方法的在求解内部声学问题时的色散要远低于有限元方法,这使得无网格方法具有求解更宽频带范围声学问题的优势。 结合前文给出的边界条件处理方法及误差分析,详细地推导了无网格方法求解内部声学问题时的数值实施方案,并通过算例和实验验证了不同边界条件下,无网格方法求解内部声学问题的有效性。 基于径向基函数的配点型无网格方法具有精度高、实施方便、易于扩展到高维等优点,改进后的无网格方法进一步提升了其性能。将该方法引入到内部声学问题的求解中,不仅体现了无网格方法自身的优势,而且扩展了声学问题的求解频率,具有重要的学术研究价值和工程应用前景。


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