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分数阶微分方程的高精度算法

马晓华  
【摘要】:分数阶微分方程可用于模拟物理、力学、生物学、工程、金融、水文学、分数阶控制器等领域中的许多现象。由于其深厚的物理背景,分数微分方程近年来已经变成一个非常重要的热门课题。一般情况下,大多数分数阶微分方程的解析解是难以获得的。所以,有必要开展其数值方法研究。在本文中,我们考虑几类分数阶常微分方程和分数阶偏微分方程的高阶近似算法。 第一章,我们主要回顾分数阶微积分和分数阶微分方程数值分析的发展历史和研究背景,并给出本论文的工作概要。同时为后文方便,我们给出分数阶导数的一些定义和基本性质。 第二章我们研究一类非线性分数阶积分微分方程的数值解法。我们考虑混合配置方法,即在第一个子区间使用非多项式配置,在剩余的子区间使用分级网格分段多项式配置,并详细给出了该方法收敛阶的理论分析。 第三章我们针对一般的线性分数阶积分微分方程构造了一个Jacobi配置方法。首先,我们使用一些函数和变量变换把方程转化成一个定义在标准区间[-1,1]上的Volterra积分方程。然后用Jacobi-Gauss点作为配置节点且用Jacobi-Gauss求积公式近似方程中的积分,得到离散格式,且我们研究了该方法在L∞意义下的收敛阶。 第四章我们考虑Lane-Emden型分数阶常微分方程奇异初值问题。我们针对这个方程构造了一个Jacobi配置方法。这个方法首先把这个Lane-Emden型的分数阶常微分方程的求解转化成Volterra积分方程的求解。然后用facobi-Gauss点作为配置节点且用Jacobi-Gauss求积公式近似方程中的积分。最后分别给出Jacobi配置方法在L∞和L2范数下的误差分析。 第五章,我们讨论非线性加热下分数阶广义二阶流体Stokes第一类问题的数值解法。我们在时间方向采用有限差分,在空间方向采用Legendre谱方法,获得高阶有限差分谱方法,并给出方法的稳定性和L2范数下的收敛性分析。


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