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非高斯随机动力系统的平均逃逸时和逃逸概率的数值算法

王晓  
【摘要】:随机动力系统的动力学是动力系统理论中的一个重要分支,吸引了越来越多数学工作者的重视。过去一段时间以来,由布朗运动驱动的随机动力系统不但在理论上有了许多重要发展和突破,而且也在地球物理,生物等领域有很多应用,但在自然界中,噪声的扰动通常是非高斯的,而非高斯动力系统的研究目前还处于初始阶段,无论是理论上或应用中,都有很大空间。我们知道,α-稳定列维过程是一类非常特殊又十分重要的非高斯过程,对这类列维过程的深入研究,会对我们认识了解非高斯随机过程有深远的影响。因此,本文主要研究由对称和非对称α-稳定列维过程驱动下的随机动力系统的动力学行为。 平均逃逸时和逃逸概率是由一组非局部偏微分方程和特殊的边界条件来刻画。首先,我们研究了一维非对称a-稳定列维过程情形下的平均逃逸时和逃逸概率。我们通过对其做无量纲化处理,可以将任意有界区域上的问题转化为考虑(-1,1)上的问题。然后在此基础上,发展出求解平均逃逸时和逃逸概率的数值方法。同时,我们也验证了数值方法的收敛性,并考虑了偏度参数、漂移项、高斯噪声和非高斯噪声强度、区域大小对平均逃逸时的影响. 然后,主要研究一维非对称情形下的Fokker-Planck方程。在考虑Fokker-Planck方程之前,我们用不同于现有的方法来重新考虑一维对称情形下的平均逃逸时,并对数值解的收敛性加以验证。之后,分别考虑对称和非对称情形下的Fokker-Planck方程,并借助于Fokker-Planck方程来研究解的动力学行为。 最后,我们研究了由二维旋转对称α-稳定列维过程驱动下平均逃逸时和逃逸概率。由于一般情形下问题的复杂性,为了考虑的方便,在对过程和区域做了对称性假设后,我们引入高斯超几何函数,将原来的二维方程降维,从而发展了一种新的数值方法。并用已有的解析解验证我们数值方法的收敛性和整体的收敛阶数。同时,考虑漂移项,高斯噪声和非高斯噪声强度,区域大小对平均逃逸时的影响。同时,我们也对一维和二维情形做了相应的对比。而且我们也考虑了不同情形下,系统轨道的逃逸概率。


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