自然边界元的无网格方法和拟小波方法研究

【摘要】：边界元方法是将区域内的微分方程边值问题归化到边界上,然后在边界上离散化求解的一种微分方程的数值解法。边界元方法的主要优点是降维,这在处理高维问题时具有优势。与通过一般边界归化得到的边界元方法不同,通过自然边界归化得到的边界元方法,不仅保持了边界元方法的降维优势,而且它是由原边值问题唯一确定的,同一边值问题将得到唯一的自然边界积分方程,且其解还具有存在唯一性和稳定性。无网格方法仅仅需要节点信息,克服了有限元等传统数值方法对网格有较强依赖性的缺点,摆脱了网格的束缚,避免了大量的网格分划、复杂的网格生成及重新划分的工作,减少了因网格畸变而引起的困难,而且收敛快、精度高、易于实现和进行后处理工作。为了克服小波方法在微分方程的求解问题中依然存在的复杂边界不易处理,精度难以提高等困难,拟小波方法通过对尺度函数做正则化处理的方法,使正则化后的尺度函数在时频域上都具有良好的局部特性,极大地拓宽小波方法的应用范围。本文提出的自然边界元的无网格方法是将无网格方法与自然边界元方法相结合,使其不仅具有自然边界元的降维及计算便捷、稳定等优点,而且还具有无网格方法的只需节点信息、不必划分网格、后处理方便等优点,这使该方法在处理高维问题上计算简捷。另外本文还采用小波再生核函数与快速衰减函数相结合的办法,提出的拟小波基用于自然边界元方法具有良好的逼近精度,不仅有效的保持自然边界元方法的优点,而且还具有拟小波的良好局域性和逼近性特性,这使该方法能很好的处理高维问题以及有局部急剧变化解的非线性偏微分方程等问题。对上述提出的方法,本文以二维调和方程的不同边值问题为例,推导出相应的计算公式,并在随后给出相应的数值算例,数值实验的结果是令人满意的。