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刚性延迟积分微分方程的Runge-Kutta离散

金杰  
【摘要】: 刚性延迟积分微分方程广泛存在于物理学、生物学、控制理论等领域,扩展的Runge-Kutta方法是求解其系统的重要方法,本文针对其离散开展了如下研究。 第一章,叙述了延迟微分方程中的应用问题背景和方程的理论解和数值解研究历程。回顾了数值方法的线性稳定和非线性稳定性的重要理论,特别是非线性稳定性中的各类研究成果,包括对常延迟微分方程,中立型延迟微分方程以及无限延迟微分方程。同时介绍了关于延迟积分微分方程数值方法及其稳定行分析。 第二章,考虑了多延迟情形下的积分微分方程,推广理论解的收缩性与渐近稳定性结果,在适当的步长下,利用复合求积公式与Pouzet求积公式扩展Runge-Kutta方法,获得离散的计算格式,并且证明了方法是数值稳定的,此外,数值试验表明此计算方法在实际应用中是非常有效的。 第三章,研究了中立型延迟积分微分方程,其理论解的收缩性和渐近稳定性,利用复合求积公式与Pouzet求积公式扩展Runge-Kutta方法,并获得了数值方法的稳定性条件,随后的数值试验结果进一步证明了方法是数值稳定的。 第四章,对于无限延迟积分微分方程,本文先使用变量代换的方法,将其转化成常延迟方程来求解,其稳定性结果是第一章中数值稳定性的特殊形式,另外,利用等比增加的方法来划分步长,得到扩展的变步长Runge-Kutta方法,然后探讨方法的数值稳定性。 最后部分是对本文作了总结,展望了未来的研究方向。


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