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振荡积分和高阶Schr(?)dinger方程的两个问题

宋春合  
【摘要】: 振荡积分理论是现代调和分析的核心部分之一。振荡积分的研究受到了特殊函数Fourier变换的渐近性、Fourier积分算子和拟微分算子等研究的巨大推动。近二十多年来,振荡积分在线性及非线性偏微分方程的研究中起着越来越重要的作用。偏微分方程研究中出现的诸多论题成为振荡积分研究的新的动力。 自上个世纪二十年代以来,Schr(o|¨)dinger算子理论一直是现代数学物理研究的中心课题之一。而Schr(o|¨)dinger方程的时空估计、Kato局部光滑性估计及极大算子估计已成为近二十多年来Schr(o|¨)dinger算子理论中的一些重要论题。这些论题既具有很强的理论意义,又有很丰富的应用背景。 本文的主要目的就是研究一类含参变量的振荡积分的估计和一类高阶Schr(o|¨)dinger方程解的局部光滑估计。 全文共分两部分:第一部分讨论相位函数含参变量并且可退化的振荡积分的估计;第二部分讨论一类高阶Schr(o|¨)dinger方程解的局部光滑估计。在第一部分中,首先给出了问题研究的背景及其最近的研究成果;然后证明了相位函数的估计;最后利用所得到的结论证明了振荡积分的估计。第二部分中,首先给出了问题研究的背景及其最近的研究成果;然后利用球调和分解和Hankel变换技术,得出了方程解的局部光滑估计。


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