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几何约束系统建模与求解方法研究

石志良  
【摘要】: 几何约束求解技术是CAD系统开发的核心技术之一,几何约束求解器的开发涉及到系统建模与分解、约束维护以及求解等几个方面的关键技术。本文首先研究了几何约束系统的建模问题,基于几何约束和几何实体的欧拉参数表达,通过对欧拉参数表达的姿态约束和位置约束的解耦性研究,抽象出球体、盒体和球盒体三种基本几何实体表达空间几何实体,形成几何约束模型特有的层次结构。并以有向图管理几何约束系统,反映了几何实体之间的约束关系,为二、三维几何约束求解提供了内在的模型基础。 在几何约束和几何实体统一表达的基础上,为提高求解效率,研究了几何约束求解的方法。针对三维装配姿态约束和位置约束的可解耦情况,提出求解姿态约束的球面几何和球面四杆机构法。对可操作的姿态约束的组合利用简单的球面上平移、旋转和刚性变换推理,快速地判定冗余约束和求解约束;对不可操作的姿态约束的组合利用球面四杆机构求解;将基本位置约束分量映射为移动空间,以参数方程表达移动空间,研究了移动空间的解析求交,采用增量形式的解析求交和数值混合法求解位置约束,并保持了基本约束表达的独立性,有利于冗余约束的管理。 在二维几何约束求解中,存在可构造的刚性装配求解模式和不可构造的求解模式。针对二维空间完整几何约束系统刚性复合顶点的装配求解,细化和分离出可几何构造模式,提出几何增量构造的方法求解这些模式。通过对可构造模式子构型的构造,求出刚性体的自由转动和自由移动空间,在自由空间中构造未满足的几何约束。 针对几何约束系统中不可构造的柔性复合顶点的求解问题,引入等价约束,分裂部分约束以打破柔性复合顶点的强耦合性,形成只包含简单顶点可封闭求解的求解序列。分析了等价约束的性质和结构拓扑,研究了求解序列顶点存在与不存在实数解情况下,雅可比矩阵的求解方法,从而以少量分裂约束方程组对等价约束变量的等价迭代,或者柔性复合顶点的局部迭代,取代柔性复合顶点的整体数值迭代求解,降低迭代的维数。 在几何约束求解之前,需要剔除冗余约束,因为冗余约束影响着几何约束求解系统的效率和求解能力。本文鉴于雅可比矩阵奇异是判定约束冗余性的必要非充分条件的理论,针对冗余型奇异和分支型奇异的判定问题,提出一种新的切面扰动判定方法。该方法将奇异的雅可比矩阵分为独立构型空间和奇异空间,变量沿独立构型空间的切面扰动,计算更新的雅可比矩阵的秩,依据秩亏的变化可以快速、稳定地判定约束奇异性。本文的研究内容在原型系统CBABench中得到实现,并通过实例验证了研究内容的可行性和有效性。


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