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双重互易杂交边界点法理论及其应用研究

晏飞  
【摘要】: 无网格方法是最近三十年才发展起来的数值方法,具有部分或者完全消除网格和前处理简单的优势,因此,在裂纹扩展,弹塑性及三维大规模分析上具有广阔的前景。本文综述了无网格数值方法的发展历史和现状,重点介绍了边界型数值方法以及杂交边界点法。而杂交边界点法是一种具有很多优良特性的边界型纯无网格方法,但是杂交边界点法在求解含体力问题或者动力问题等非齐次问题时,不可避免的需要在计算域内积分。为此,本文提出了双重互易杂交边界点法,成功的避免了域内体积分,将杂交边界点法的应用范围大大的扩大到含体力的二维、三维弹性力学问题,弹性动力学问题和非线性等非齐次问题。本文主要完成了以下几个方面的工作: 第一,将双重互易法引入到杂交边界点法当中,利用径向基插值原理,提出了双重互易杂交边界点法。对于控制方程中的非齐次项,使用双重互易法将其转化为边界积分。该方法将问题的解分为特解和通解两部分。特解采用双重互易法通过径向基插值获得。通解通过杂交边界点法求得,同时在使用杂交边界点法的过程中应用修正的边界条件。因此,此方法是一种真正的纯无网格方法,既不需要插值网格,也不需要积分网格。计算时只需离散点的信息,前处理简单。域内节点的布置只参与径向基函数插值,不参与变量的插值和背景积分。 第二,将双重互易杂交边界点法应用于二维泊松问题,二维和三维带体力的弹性力学问题,建立了这三类问题的双重互易杂交边界点法理论和数值实施方案,并编制了相应的计算程序。数值算例表明,该方法具有较高的精度和较快的收敛性,能广泛的应用于各种实际工程问题。 第三,将双重互易杂交边界点法应用于二维弹性动力学问题,建立了弹性动力学问题的双重互易杂交边界点法理论和数值实施方案。对于动力问题,仅仅依靠局部边界积分方程是不足以求解出问题的解,因此本文使用域内变量和边界变量之间的关系来构造附加方程,以达到求解该问题的目的。数值算例表明,该方法应用于弹性动力学问题中是有效的,具有较高精度的。 第四,将双重互易杂交边界点法推广到非线性势问题中去,建立了非线性问题的双重互易杂交边界点法理论,与动力问题一样,仅仅只靠局部边界积分方程是不能求解出问题的解,需要利用域内变量和边界变量之间的关系来添加方程。算例表明,该方法应用于非线性问题时是有效的而且具有较高的收敛速度。结合拟线性化理论,提出了拟线性化杂交边界点法,并使用该方法求解非线性问题,理论和算例表明,该方法具有很好的稳定性,较高的精度,具有2阶收敛速度。 第五,对整个双重互易杂交点法数值实施方案进行了专门研究,提出了一套解决弱奇异积分和近奇异积分的积分方案。为了达到该方法应用的通用性,本文提出了特解基本形式的概念,并且对于同一大类问题,只须使用相同的特解基本形式来插值特解。为此,本文探讨了特解基本形式的求解方法和求解结果。 第六,对双重互易杂交点法中的各个自由参数进行了详细研究,并对径向基函数的次数和对精度的影响进行了研究。对径向基函数插值节点的个数及其布置位置进行了研究。针对这些问题提出了一些有用的优化意见。 双重互易杂交边界点法是一种具有较多优良特性的数值方法。与杂交边界点法相比,它可以应用于非齐次问题而避免了域内积分。它保持了杂交边界点法降维的优势,要求输入的数据只是求解域上的节点信息,前处理简单,适合于大规模复杂结构的计算。同时双重互易杂交边界点法是一种纯无网格方法,无论是插值,还是积分,都不需要任何网格。 研究表明,该方法不仅计算精度高,而且收敛速度快,应用范围广。适合于自适应问题、断裂问题和接触问题的求解。


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