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倒向问题的随机数值算法研究

谷伟  
【摘要】: 对于正向随机微分方程(FSDE)的研究,兴起于上世纪40年代末,它不仅有直接的应用背景,并且拥有了完善的理论框架。相对而言,倒向随机微分方程(BSDE)的研究是近30年才兴起的,但进展十分迅猛,并取得非常丰富的成果,它在很多领域如偏微分方程(PDE)、金融数学、随机控制、微分几何、随机对策论等都有重要的应用,逐渐成为一个强有力的数学工具。 但一直以来,对BSDE的研究大都是定性的,除了线性和一些特殊方程的解具有解析表达式外,一般的非线性BSDE的解却不能完全通过解析表达式描述出来。为此,学者们开始转向寻求BSDE的数值解,有关它的数值计算目前是一个很热门的问题,有许多研究小组或个人想要寻求一个快速有效的计算方法。本文考虑BSDE的一种特殊形式,正倒向随机微分方程的数值解。基于“四步法”理论,即在正倒向随机微分方程里,倒向方程的适应解可以由正向方程的解显式表示,但要借助于某个抛物型方程的解。从而,由这个思想出发,可以这样来构造数值算法,首先离散相应的非线性抛物型方程,然后离散正倒向随机微分方程中的前向部分,最后获得正倒向随机微分方程的数值解。目前有关离散FSDE的研究成果已经很多,因此,重要的是如何离散非线性抛物型方程。从某种程度上来说,BSDE的数值计算转化为偏微分方程的数值计算。 本文的目的是基于“四步法”离散正倒向随机微分方程,因此需首先给出数值求解相应的抛物型方程的算法。传统的数值求解抛物型方程的方法大多是确定性方法,但它们在离散非线性情况时遇到了困难。我们通过不确定性(随机)的方法,来构造求解半线性和拟线性抛物型方程初值问题的数值算法—分层方法,这种方法的构造主要依赖于抛物型方程解的概率表示,和对与概率表示相关联的随机微分方程系统的离散方法的选择。它的优势在于该算法对抛物型方程的维数没有限制,而一般确定性的数值算法仅适合3维以下的问题。另外,它的最大优点是仅需对时间区间进行离散,而和空间变量x没有必然联系,算法的稳定性是方法本身所固有的,尽管为了算法的可执行性和减少计算量,需要对x进行离散,事实上,空间变量x区域的截取并不影响最终的数值结果,这些将会在方法的构造过程和数值试验中得到验证。 本文首先针对一类拟线性抛物型方程的初值问题构造分层方法,利用对原方程求导后所得的方程和原方程在形式上的一致性,在第二章里利用弱显式欧拉算法构造了求解拟线性抛物型方程的一类分层方法,进而在第三章里通过对第二章算法的改进和推广,构造出了更一般化、更精确的一类分层方法族。然后,在第四章里主要构造了求解两类正倒向随机微分方程的数值算法,由“四步法”,它们分别与半线性和拟线性抛物型方程相联系,而其中对拟线性抛物型方程的数值算法的构造采用了与前两章不同的新方法。另外,文中所构造的数值算法均进行了收敛性分析,编制了数值程序,针对实例的数值模拟进一步验证了所构造算法的精确性和可行性。第五章考虑了倒向随机微分方程理论及所构造的数值求解抛物型方程的算法,在期权定价模型中的应用,算例分析进一步说明了算法的有效性。


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