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随机微分方程的同胚流及其应用

乔会杰  
【摘要】: 在20世纪40年代It(?)和Gihman的奠基工作以来,随机微分方程的理论被广泛研究。随机微分方程解流的性质在20世纪80年代左右由Elworthy,Bismut,Ikeda-Watanabe,Kunita,Meyer等研究。在方程系数Lipschitz连续的条件下,由Brown运动或连续半鞅驱动的随机微分方程的解形成一随机同胚流.而且,若系数是光滑的,则方程的解形成一随机微分同胚流. 本文我们将上述结果作了以下两方面的推广,一方面是带跳随机微分方程解的同胚流及其应用,另一方面是倒向随机微分方程解的同胚流及其应用. 对带跳随机微分方程,假设(U,(?),v)为一σ-有限测度空间和固定U_0∈(?)使得v(U-U_0)∞.再假设漂移项系数b(l,x)关于x的连续模为|x|log(|x|~(-1)+e)和连续扩散项系数σ(l,x)关于x的连续模为(?).首先若对某一q(2d)∨4及(?)p∈[2,q],小跳系数f(t,x,u)在空间L~p(U_0,(?),v)中关于x的连续模是(?)和f(t,x,u)在空间L~p(U_0,(?),v)中的范数被x的线性函数控制;大跳系数g(t,x,u)关于x连续;则我们用Bihari不等式证明了解的一些矩估计,然后应用Kolmogorov准则得到解关于初值的连续依赖性.其次若小跳系数f(t,x,u)关于x是Lipschitz连续的且Lipschitz常数是L(u)和f(t,0,u)被L(u)控制,其中L(u)属于空间L~2(U_0,(?),v)且在U_0中的上确界被0δ1控制,这里δ满足对某一q4dx|g(t,x,u)关于x同胚;则我们用Gronwall不等式得到解的一些负指标矩估计,然后应用Kolmogorov准则得到解的同胚性.随后,我们将此结果应用到由L(?)vy过程驱动的随机微分方程,就此情况与Fujiwara-Kunita和Protter的结果作比较,由此可以看出我们的结果推广了或者改进了他们的结果. 对倒向随机微分方程,若终端条件ξ被一族随机变量ξ(x,ω)所代替,其中这一族随机变量ξ(x,ω)依赖一个参数x∈R且x(?)ξ(x,ω)是一个同胚映射a.s.,我们用两个定理证明了方程的解Y_y~(ξ(x))关于x的同胚性.当生成元f(s,ω,y,z)关于y,z为Lipschitz连续时,由ξ(x,ω)关于x的单调性和一个推广了的倒向随机微分方程的比较定理,我们得到了映射x(?)Y_y~(ξ(x))的连续单射性.若对某一R_00和ε0,其中g(x)是R上的实连续函数满足(?)(或者(?)),我们用这个比较定理把倒向随机微分方程的解与倒向常微分方程的解从上和从下作比较,从而得证第一个定理满射性部分.而若对某一(?),我们用上下极限得证第二个定理满射性部分.接着,我们将第二个定理应用到正倒向耦合的随机微分方程,得到了它解的同胚性.又因为该方程与一类二阶拟线性抛物型偏微分方程相联系,从而我们也得到了后一方程解的同胚性.


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